Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - J. L. Meriam - Estática - Mecânica para Engenharia- Ed: 7º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 93
Além da variação da pressão radial do Prob. 6/92, suponha que o coeficiente de atrito μ diminui linearmente com r de um valor μ0 no centro para μ0 / 2 em r = a. Derive uma expressão para o torque M necessário para girar o eixo sob uma carga axial L e compare com o resultado declarado para Prob. 6/92
Passo 1
Para cada ponto de área , raio r e angulaçäo , como mostrado na figura, é feita no disco pela superfície lixada uma força de atrito
Essa pequena força infinitesimal de atrito é igual à força nomal aplicada vezes o coeficiente de atrito Mas sabemos que a força normal é a pressão vezes a área:
A área infinitesimal pode ser considerada como um comprimento dR vezes uma largura dada por um pequeno arco , entăo:
Finalmente, devemos calcular o momento infinitesimal que cada força de atrito causa em tomo do centro:
Devemos então para obter o momento total integrar essa expressão, com variando de 0 a er variando de 0 a a.
Passo 2
Entẫo temos que calcular a integral dupla:
A parte da esquerda é calculada diretamente:
A expressăo de p em função de é uma reta decrescente com . Vamos calcular então a expressão de .
Então calculamos a integral:
Passo 3
Temos o momento total, mas precisamos do valor de em funçăo da força aplicada. A força total será igual a
Já calculamos que e que , entăo:
Então calculamos a integral:
Então temos em funcäo de :
Substituindo então na fórmula de :