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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 114

Determinar a localização do centro de cisalhamento O de uma viga de parede fina de espessura uniforme e com a seção transversal mostrada.

Passo 1

Para acharmos a localização do ponto O , ou seja, a distância e vamos fazer o seguinte passo a passo:

  1. Determinar o momento de inércia I .
  2. Achar a tensão cisalhante.
  3. Calcular, por meio de integral, o momento aplicado.

Passo 2

Vamos lembrar da circunferência completa de parede fina. de raio r e espessura t :

I c i r c u l o = π r 3 ⋅ t

I = π a ³ t

Passo 3

Para achar a tensão cisalhante vamos primeiro achar o momento estático da parte A B até um dado ponto x :

Q A B = A y -

Como estamos falando de um círculo é válido utilizar as coordenadas polares, então vamos ter:

A = a ⋅ θ ⋅ t

Agora a gente tem que lembrar, ou olhar na tabelinha do final do livro rs, que a posição do centroide de um arco de circunferência é igual a:

x - = r ⋅ s e n ( α ) α

Onde α é a metade do ângulo interno ( θ ). Mas a gente precisa achar y - então:

y - = x - ⋅ s e n ⁡ ( α )

Sendo assim,

y - = r ⋅ s e n 2 α α

y - = a ⋅ s e n 2 ( α ) α

Achando o momento estático:

Q = a ⋅ θ ⋅ t ⋅ a ⋅ s e n ² ( α ) α

Q = a ² ⋅ θ α ⋅ t ⋅ s e n ² ( α )

Q = a ² ⋅ 2 ⋅ t ⋅ s e n ² ( α )

Q = a ² ⋅ 2 ⋅ t ⋅ s e n 2 θ 2

Lembrando que

sen ⁡ x 2 = 1 - cos ⁡ x 2

Q = a ² ⋅ t ⋅ ( 1 - c o s ⁡ ( θ ) )

Agora é só substituir na equação da tensão cisalhante:

τ = V Q I t

τ = V a ² ⋅ t ⋅ ( 1 - c o s ⁡ ( θ ) ) I t

τ = V a ² I ⋅ ( 1 - c o s ⁡ ( θ ) )

Passo 4

Para achar o momento M a gente vai ter que integrar a tensão cisalhante pela área da seguinte forma:

M = ∫ a ⋅ τ ⋅ d A

Substituindo τ

M = ∫ a ⋅ V a ² I ⋅ ( 1 - c o s ⁡ ( θ ) ) ⋅ d A

Transformando d A em t a ⋅ d θ

M = ∫ V a 3 I ⋅ ( 1 - c o s ⁡ ( θ ) ) ⋅ t a ⋅ d θ

M = ∫ V a 4 I ⋅ ( 1 - c o s ⁡ ( θ ) ) ⋅ t ⋅ d θ

M = V a 4 t I ∫ ( 1 - c o s ⁡ ( θ ) ) ⋅ d θ

M = V a 4 t I ⋅ θ - s e n θ 0 2 π

M = V a 4 t I ⋅ 2 π

Substituindo I

M = V a 4 t π a ³ t ⋅ 2 π

M = 2 V a

Como esse momento é igual ao momento aplicado em O pela cortante, vamos ter:

M = M V

2 V a = V ⋅ e

e = 2 a

Resposta

e = 2 a

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