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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 112

Determinar a localização do centro de cisalhamento O de uma viga de parede fina de espessura uniforme e com a seção transversal mostrada.

Passo 1

Para acharmos a localização do ponto O , ou seja, a distância e vamos fazer o seguinte passo a passo:

  1. Determinar o momento de inércia I .
  2. Achar a tensão cisalhante.
  3. Com a tensão cisalhante achar a força F que atua na barra.
  4. Comparar o momento da força F com o momento da força cisalhante V .

Passo 2

Para determinar o momento de inércia vamos dividir a viga em duas partes simétricas (superior e inferior). Assim vamos ter:

I = 2 ⋅ ( I A B + I B D )

I A B = 1 3 ⋅ t ⋅ a 2 3

I A B = a 3 t 24

I B D = 1 3 ⋅ a 2 ⋅ 1 cos ⁡ 60 ° ⋅ t ⋅ a 2 2

I B D = a 3 t 12

I = 2 ⋅ a 3 t 24 + a 3 t 12

I = a 3 t 4

Passo 3

Para achar a tensão cisalhante vamos primeiro achar o momento estático da parte A B até um dado ponto x :

Q A B = A y -

Q A B = t ⋅ x ⋅ x 2

Q A B = x 2 t 2

Assim podemos ter a tensão cisalhante:

τ = V Q I t

Substituindo

τ = V ⋅ x 2 t 2 I ⋅ t

τ = V ⋅ x 2 2 I

Passo 4

Para achar a força F a gente vai ter que integrar a tensão cisalhante pela área da seguinte forma:

F = ∫ τ ⋅ d A

Substituindo τ

F = ∫ V ⋅ x 2 2 I ⋅ d A

Transformando d A em t ⋅ d x

F = ∫ V ⋅ x 2 2 I ⋅ t ⋅ d x

F = V ⋅ t 2 I ∫ x ² ⋅ d x

F = V ⋅ t 2 I ⋅ x 3 3 0 a / 2

F = V ⋅ t 2 I ⋅ a 3 24

F = V t a ³ 48 I

Passo 5

Analisando os momentos em relação a D vamos ter:

M V = M F

M V = V ⋅ e

M F = 2 F ⋅ a 2 ⋅ t g ( 60 ° )

M F = 2 V t a ³ 48 I ⋅ a 2 ⋅ t g ( 60 ° )

M F = V t 48 I ⋅ a 4 ⋅ √ 3

Substituindo I

M F = V t 48 ⋅ a 3 t 4 ⋅ a 4 ⋅ √ 3

M F = V 48 ⋅ 1 4 ⋅ a ⋅ √ 3

M F = 0,1443 ⋅ a ⋅ V

Igualando:

V ⋅ e = 0,1443 ⋅ a ⋅ V

e = 0,1443 a

Resposta

e = 0,1443 a

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