Enunciado

Determinar a reação em A e desenhar o diagrama de momento fletor para a viga com o carregamento mostrado.

Obs: determinação do ângulo em A e B para o caso 1

Passo 1

Fala galera, essa questão vai ter algo novo, pois com dois engastes, vamos precisar quebrar dois vínculos, e isso significa que vamos ter que dividir a nossa viga original hiperestática em 3 vigas isostáticas. Uma com o carregamento original, e duas com os vínculos quebrados como carregamento, desse modo, teremos que:

Agora pensa no seguinte, aqui vamos ter 4 passos a executar, para essa primeira parte temos que determinar o ângulo em A e B para o caso 1. Depois temos que determinar o ângulo em A e B para a viga 2 na parte 2. E por fim, determinamos o ângulo para A e B no caso 3 na parte 3. A ultima parte vai ser exatamente lembrarmos que a soma doa ângulos em A tem que ser zero, porque temos ali um engaste, e em B funciona do mesmo modo, beleza? Então chega de ladainha e vamos lá.

Passo 2

Vamos começar para o caso 1, e para isso precisamos das reações de apoio, então assim, vamos ter que:

∑ M B = 0

- V A a + 2 b + P b + P 2 b = 0

V A = 3 P b a + 2 b

∑ F V = 0

V A + V B - 2 P = 0

3 P b a + 2 b + V B - 2 P = 0

V B = 2 P - 3 P b a + 2 b

V B = 2 P a + 4 P b a + 2 b - 3 P b a + 2 b

V B = 2 P a + 4 P b - 3 P b a + 2 b = 2 P a + P b a + 2 b

Agora perceba o seguinte, suponha que ao invés de termos os apoios em A e B, vamos supor que eles são cargas aplicadas na nossa viga, e que no caso no ponto B temos um engaste, então basta desenharmos o diagrama de cada carga com relação ao ponto B, assim, teremos que:

E sabemos que devemos dividir o nosso diagrama por E I , referente a cada uma das barras, e assim teremos que:

Passo 3

Agora, pensa no seguinte, como eu disse, quando tínhamos cargas simétricas, poderíamos considerar um ponto em que sabíamos que a deflexão era zero, porém, agora não sabemos mais onde temos essa deflexão, vamos partir direto para o que sabemos, que nesse caso é a deformação, e como a deformação vai nos ajudar a determinar a declividade? Muito simples, podemos determinar a deformação de B com relação a A da seguinte maneira:

θ B / A = θ B - θ A

E pensa no seguinte, queremos saber quanto vale o ângulo em A, certo? Vamos isolar o ângulo:

θ A = θ B - θ B / A

E se multiplicarmos tudo por (a+2b), obtemos exatamente as deformações, mas perceba que a do ângulo A eu não irei modificar.

( a + 2 b ) θ A = ( a + 2 b ) θ B - ( a + 2 b ) θ B / A

( a + 2 b ) θ A = y B - y B / A

E sabemos que a deformação em B é zero, assim temos que:

θ A = - y B / A ( a + 2 b )

E para determinarmos a deformação y B / A precisamos de todas as áreas entre A e B e das distâncias desses centroides ATÉ B, bem importante lembrar que sempre determinamos a distância com relação ao primeiro termo do subscrito B / A . Dividindo o nosso diagrama em áreas mais simples temos que:

A 1 = P b E I × b × 1 2 = P b 2 2 E I

A 2 = 2 P b E I × 2 b × 1 2 = 4 P b 2 2 E I = 2 P b 2 E I  

A 3 = - 3 P b E I × ( a + 2 b ) × 1 2 = - 3 P b ( a + 2 b ) 2 E I  

E além das áreas precisamos da distância de cada centroide até o nosso ponto B, assim teremos que:

Assim podemos definir que:

y B / A = A 1 y 1 + A 2 y 2 + A 3 y 3

y B / A = P b 2 2 E I × b 3 + 2 P b 2 E I × 2 b 3 - 3 P b a + 2 b 2 E I × a + 2 b 3

y B / A = P b 3 6 E I + 4 P b 3 3 E I - P b a + 2 b 2 2 E I

y B / A = P b 3 6 E I + 4 P b 3 3 E I - P b a 2 + 4 a b + 4 b 2 2 E I

y B / A = P b 3 6 E I + 4 P b 3 3 E I - P b a 2 + 4 P b a b + 4 P b b 2 2 E I

y B / A = P b 3 6 E I + 8 P b 3 6 E I - 3 P b a 2 + 12 P a b 2 + 12 P b 3 6 E I

y B A = - 3 P b 3 - 3 P b a 2 - 12 P a b 2 6 E I

Mas lembre-se que o objetivo é o ângulo A, com isso teremos que:

θ A = - y B A a + 2 b = - - 3 P b 3 - 3 P b a 2 - 12 P a b 2 6 E I a + 2 b = P b 3 + P b a 2 + 4 P a b 2 2 E I ( a + 2 b )

Sabendo que:

P = 180   k N

b = 1,35   m

a = 0,90   m

Substituindo, tem-se que:

θ A = 180 × 1,35 3 + 180 × 1,35 × 0,90 2 + 4 × 180 × 0,90 × 1,35 2 2 E I ( 0,90 + 2 × 1,35 )

θ A = 252,9 E I

Passo 4

Porém, lembre-se que o nosso objetivo é determinar os dois ângulos dessa viga nessa primeira parte, assim, como já definimos o ângulo A, vamos para o ângulo B, e aqui é muito simples, baste pensarmos, qual a relação do ângulo A com o ângulo B? podemos usar a seguinte equação.

θ A / B = θ A - θ B

E pensa no seguinte, queremos saber quanto vale o ângulo em B, certo? Vamos isolar o ângulo:

θ B = θ A - θ A / B

E se multiplicarmos tudo por (a+2b), obtemos exatamente as deformações, mas perceba que a do ângulo B eu não irei modificar.

( a + 2 b ) θ B = ( a + 2 b ) θ A - ( a + 2 b ) θ A / B

( a + 2 b ) θ B = y A - y A / B

E sabemos que a deformação em A é zero, assim temos que:

θ B = - y A / B ( a + 2 b )

E para determinarmos a deformação y A / B precisamos de todas as áreas entre A e B e das distâncias desses centroides ATÉ A, bem importante lembrar que sempre determinamos a distância com relação ao primeiro termo do subscrito A / B . Dividindo o nosso diagrama em áreas mais simples temos que:

A 1 = P b E I × b × 1 2 = P b 2 2 E I

A 2 = 2 P b E I × 2 b × 1 2 = 4 P b 2 2 E I = 2 P b 2 E I  

A 3 = - 3 P b E I × ( a + 2 b ) × 1 2 = - 3 P b ( a + 2 b ) 2 E I  

E além das áreas precisamos da distância de cada centroide até o nosso ponto A, assim teremos que:

Assim podemos definir que:

y A / B = A 1 y 1 + A 2 y 2

y B / A = P b 2 2 E I × 5 b 3 + a + 2 P b 2 E I × 4 b 3 + a - 3 P b a + 2 b 2 E I × 2 ( a + 2 b ) 3

Sabendo que:

P = 180   k N

b = 1,35   m

a = 0,90   m

Substituindo:

y B / A = 516,7 E I + 1771,5 E I - 3149,3 E I = - 861,11 E I

Mas lembre-se que o objetivo é o ângulo B, com isso teremos que:

θ B = - y A B ( a + 2 b ) = - - 861,11 E I ( 3,6 ) = 239,2 E I

Resposta

θ A = 252,9 E I

θ B = 239,2 E I

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