Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia Estática - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 7.Problemas - Ex. 80
Determine os diagramas de esforço cortante e de momento fletor para a viga simplesmente apoiada.
Passo 1
Para determinar os diagramas de esforço, em primeiro lugar as reações de apoio devem ser determinadas.
Há algumas formas de fazer os diagramas depois desse passo. Uma delas é achando as equações desses esforços. A outra é utilizado métodos gráficos. Como o capítulo dessa questão trata de métodos gráficos, é isso que a gente vai usar, ok?
Deve-se lembrar que a força resultante gerada por um carregamento triangular é dada por
E a posição do centroide é
O que é válido para um triângulo, MAS nesse caso temos um carregamento simétrico (formado por dois triângulos). Sendo assim, o centroide não será em , mas sim na posição média entre os dois triângulos.
Para a resultante, ela vai permanecer na mesma ideia, pois será a soma da resultante dos dois triângulos.
Deve-se analisar o DCL de toda a viga para encontrar as reações de apoio. Logo, tem-se:
Como não há forças no eixo horizontal, a reação é nula.
Com o princípio dos momentos em relação ao ponto e tendo o sentido anti-horário como positivo:
Sendo assim, aplicando o equilíbrio de forças para o eixo :
Uma observação antes de começar. Vamos lembrar duas coisas:
- se a derivada de uma função é positiva, nesse intervalo a função cresce, caso contrário, descresce.
- se a derivada segunda de uma função for positiva, a concavidade dela é para cima, caso contrário para baixo.
Agora sim, bora!
Passo 2
Vamos começar fazendo o diagrama do cortante pelo método gráfico. Basicamente o que a gente faz nele é seguir setinhas (os sentidos e magnitude das forças).
Em temos a reação para cima, que vale . Então a gente sobe esse valor.
Aí de cara, a gente acha um carregamento distribuído em forma de triângulo. Como a gente lida com esse cara? A gente vai pensar naquelas relações de derivada entre o carregamento e e suas implicações.
Como nosso carregamento é uma função linear, o cortante precisa ser uma função de um grau a mais, porque
Então o cortante precisa ser uma função de segundo grau. Com qual concavidade? Cara, essa relação acima vale para carregamentos positivos, no nosso caso, onde o carregamento está para baixo, temos:
O que nos diz se no intervalo, o carregamento for crescente (, a concavidade é para baixo, caso contrário, é para cima. No primeiro triângulo, temos o primeiro caso, então a concavidade é para baixo.
No gráfico, a gente vai descer (no sentido das setinhas do carregamento) o valor da resultante desse primeiro triângulo, na forma de uma parábola com concavidade para baixo, a partir do ponto que a gente estava até . Fica assim:
E no gráfico:
Como a gente encontra uma força concentrada, nesse ponto, também descemos verticalmente . Depois a gente reencontra outra carregamento distribuído triangular.
Já que descresce aí, nossa concavidade vai ficar para cima. Novamente a gente desce a resultante desse triângulo até , sobe verticalmente o valor da reação nesse ponto depois. O resultado final é:
Passo 3
Agora para o diagrama de momento, a gente calcula os valores dos momentos nos pontos críticos, que no nosso caso, são os apoios, as extremidades e onde há mudança de carregamento.
Para , e para , , porque são apoios na extremidades e sem momentos concentrados.
A mudança de carregamento ocorre em . Então a gente calcula o momento nesse ponto, que vamos chamar de .
Imagina que a gente cortou nossa viga no meio, olhou para a esquerda e posiocionou na seção no sentido anti-horário (conveção positiva para o esforço interno olhando para a direita).
Depois disso, a gente acha o momento máximo. Isso ocorre em . Pela simetria do gráfico do cortante, isso vai acontecer em . Já calculamos. Vamos seguir!
E sabendo que
Percebemos que o momento vai ser um polinômio do terceiro grau. E como
Se o cortante for descrescente, a concavidade do momento é para baixo. E isso é exatamente o que acontece no nosso caso.
Então o momento vai ser um polinômio de terceiro grau, com concavidade para baixo, extremos em zero e máximo em . Assim:
Resposta
