41. Determine o momento produzido por F C → em relação ao ponto O. Expresse o resultado como um vetor cartesiano.

Passo 1

Para fornecer o resultado como o enunciado pede precisamos calcular o momento da força FC usando o produto vetorial que é dado da seguinte maneira:

M 0 = r → × F C → = i j k r x r y r z F C x F C y F C z

Onde:

r x ,   r y   e   r z representam as coordenadas do vetor que vai da origem da rotação até o ponto de aplicação da força;

F C x ,   F C y   e   F C z são as componentes da força F C aplicada.

O vetor r → mencionado acima pode ser visto na figura abaixo.

E esse vetor tem como coordenadas r → = { 0 i + 0 j + 6 k }

Mas para usarmos esse método temos que expressar a força como um vetor cartesiano, e como fazemos isso?

É simples, basta multiplicar o módulo da nossa força pelo vetor direção da mesma. Esse vetor direção nada mais é que um vetor unitário que aponta na mesma direção da força. Ele pode ser calculado da seguinte maneira:

û = u → u →

Onde   u → para o nosso caso é o vetor posição do gancho que está prendendo a corda em relação ao ponto de aplicação da força (ponto A). Ele é mostrado a seguir:

Passo 2

Vamos começar calculando o vetor direção da nossa força, da maneira que foi mencionado acima.

û C = u C → u C → = 2 i - 3 j - 6 k 2 2 + - 3 2 + - 6 2

= 2 i - 3 j - 6 k 4 + 9 + 36

= 2 i - 3 j - 6 k 49

= 2 i - 3 j - 6 k 7

Passo 3

Agora vamos achar nossa força expressa na forma de vetor cartesiano.

F C → = F C û C

= 420 ⋅ 2 i - 3 j - 6 k 7

⇒ F C → = { 1 20 i - 180 j - 36 0 k }

Passo 4

Agora já temos tudo para calcular o momento da força F B .

M 0 = r → × F C → = i j k r x r y r z F C x F C y F C z

= i j k 0 0 6 1 20 - 180 - 36 0

= 0 - 6 ⋅ - 180 i + 1 20 ⋅ 6 - 0 j + 0 - 0 k

= 0 + 1080 i + 720 - 0 j + ( 0 + 0 ) k

= 1080 i + 720 j + 0 k

Resposta

Assim o momento expressado como vetor cartesiano é dado por:

M 0 = 1080 i + 720 j + 0 k

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