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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 19.Problemas - Ex. 86

duas hastes uniformes AB e CD, cada uma com comprimento l e massa m, são fixadas às engrenagens conforme mostrado. Sabendo que a massa da engrenagem C está dentro e que a massa da engrenagem A é de 4m, determine o período de pequenas oscilações do sistema.

Passo 1

O enunciado pede que a gente encontre o período de pequenas oscilações do sistema.

Cinemática

2 r θ A = r θ C 2 θ A = θ C 2 θ ˙ A = θ ˙ C

Deixe

θ A = θ m 2 θ m = θ C m 2 θ ˙ m = θ ˙ C m

Passo 2

Posição 1

T 1 = 1 2 I - A θ ˙ m 2 + 1 2 I - C 2 θ ˙ m 2 + 1 2 I - A B θ ˙ m 2 + 1 2 I - C D 2 θ ˙ m 2 + 1 2 m A B l 2 θ ˙ m 2 + 1 2 m C D l 2 2 θ ˙ m 2

I - A = 1 2 ( 4 m ) ( 2 r ) 2 = 8 m r 2 I - C = 1 2 ( m ) ( r ) 2 = 1 2 m r 2

I ~ A B = 1 12 m l 2                         I - C D = 1 12 m l 2

T 1 = 1 2 m 8 r 2 + r 2 2 4 + l 2 12 + l 2 3 + l 2 4 + l 2

T 1 = 1 2 m 10 r 2 + 5 3 y 2 θ ˙ m 2

V 1 = 0

Passo 3

Posição 2

T 1 = 0

V 1 = m g l 2 1 - c o s ⁡ θ m + m g l 2 1 - c o s ⁡ 4 θ m

Para pequenos ângulos

1 - c o s ⁡ θ m = 2 s i n 2 ⁡ θ m 2 ≈ θ n i 2 2 1 - c o s ⁡ 4 θ m = 2 s i n 2 ⁡ 2 θ m = 2 θ m 2

V 1 = 1 2 m g l θ m 2 2 + 2 θ m 2 = 1 2 m g l 5 θ m 2 2

T 1 + V 1 = T 2 + V 2                         θ ˙ m 2 = ω n 2 θ m 2

1 2 m 10 r 2 + 5 3 l 2 ω n 2 θ m 2 + 0 = 0 + 1 2 m g l 5 θ m 2 2

ω n 2 = 5 2 g l 10 r 2 + 5 3 l 2 = 3 g l 12 r 2 + 2 l 2

τ n = 2 π ω n = 2 π 12 r 2 + 2 l 2 3 g l

Resposta

τ n = 2 π ω n = 2 π 12 r 2 + 2 l 2 3 g l

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