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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 19.Problemas - Ex. 93

Uma barra uniforme de comprimento L é suportada por um suporte esférico em A e por um fio vertical CD. Deduza uma expressão para o período de oscilação da barra se a extremidade B recebe um pequeno deslocamento no plano horizontal e então é liberado.

Passo 1

E ai gurizada tudo belezinha??? O enunciado pede que a gente deduza uma expressão para o período de oscilação da barra se a extremidade B recebe um pequeno deslocamento no plano horizontal e então é liberado.

Passo 2

Consideramos primeiramente a posição 1 :D

Posição ① (Defleção Máxima)

Olhando de cima:

Deslocamento horizontal de C:

x C = b θ m

Olhando da Direita:

Ø m = x c h = b h θ m

y c = h 1 - C o s   Ø m ≈ 1 2   h Ø m 2

y c = 1 2 h b h θ m 2 = 1 2 b ² h θ m 2

ȳ m = y G = A G A G - y c = 1 2   L b 1 2 ∙ b 2 h   θ m 2

ȳ m = 1 4 ∙ b L h θ m 2

Temos, T 1 = 0

V 1 = m g b m = 1 4 m g b L h   θ m 2

Passo 3

Consideramos primeiramente a posição 2 :D

Posição ②(Defleção Máxima)

Olhando de cima:

T 2 = 1 2   Ī   θ m 2 ˙ + 1 2   m ῡ m 2 = 1 2 1 12   m L ²   θ m 2 ˙ + 1 2   m L 2   θ ˙ ²

T 2 = 1 6   m L 2   θ m 2 ˙    

V 2 = 0

Passo 4

Conservação de energia: T 1 + V 1 = T 2 + V 2 :

0 + 1 4 m g b L h   θ m 2 ˙ = 1 6   m l 2   θ m 2 ˙  

Mas para movimentos harmônicos simples,

θ m ˙ = ω n θ m

1 4 m g b L h θ m 2 = 1 6   m L 2 ( ω n θ m ) ²

ω n 2 = 3 2 b g h L

Período de vibração: τ n = 2   π ω n

Resposta

τ n = 2 π 2   h L 3   b g

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