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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 142a

O estado plano de tensões mostrado é conhecido na superfície de um componente de máquina, feito de aço de alta resistência. Sabendo-se que E = 200   G P a e G = 80 G P a , determinar a orientação e a intensidade das três deformações específicas normais principais: (a) pela determinação do correspondente estado de deformação. (Usar a Eq. (2.43), e Eqs. (2,38)); e então, usar o círculo de Mohr para a deformação; (b) Usando ocírculo de Mohr para tensões, determinar os planos principais e as tensões principais; e então, determinar as correspondentes deformações normais.

Passo 1

Primeiramente para resolver esse exercício é necessário saber identificar corretamente as tensões:

σ x = 72   M P a

σ y = 240   M P a

τ x y = 160   M P a

Depois vamos achar o coeficiente de Poisson de modo a fazer corretamente o círculo de Mohr.

Passo 2

Para achar o coeficiente de Poisson a gente vai utilizar a equação:

G = E 2 ⋅ ( ν + 1 )

Dessa forma:

ν = E 2 G - 1

ν = 200 2 ⋅ 80 - 1

ν = 0,25

Passo 3

Agora vamos calcular as deformações aplicando as equações descritas na questão:

ε x = 1 E ⋅ ( σ x - ν ⋅ σ y )

ε x = 1 200 × 10 9 ⋅ ( 72 × 10 6 - 0,25 ⋅ 240 × 10 6 )

ε x = 6 0   μ

ε y = 1 E ⋅ ( σ y - ν ⋅ σ x )

ε y = 1 200 × 10 9 ⋅ ( 240 × 10 6 - 0,25 ⋅ 72 × 10 6 )

ε y = 1110   μ

γ x y = τ x y G

γ x y = 160 × 10 6 80 × 10 9

γ x y = 2000   μ  

Lembrando que no círculo de Mohr o valor que vale é γ x y 2 logo:

γ x y 2 = 1 000   μ

Passo 4

Vamos fazer então o ciclo de Mohr para deformações. Para isso a gente tem que lembrar como calcula a deformação específica normal média e o raio:

ε m é d = ε x + ε y 2

R = ε x - ε y 2 2 + γ x y 2 2

Perceba que é muito parecido com o ciclo de Mohr com as tensões mas aqui utilizamos:

  • ε que é a deformação específica normal.
  • γ que é a deformação angular.

utilizando os cálculos do passo 1:

ε m é d = ε x + ε y 2

ε m é d = 6 0 + 1 11 0   2 = 582   μ

E

R = 6 0 - 1110   2 2 + 2 000 2 2

R = 1129   μ

Agora podemos desenhar o ciclo de Mohr:

Passo 5

Para calcular a intensidade dessas deformações específicas normais principais temos que calcular ε m á x e ε m í n . Como já temos a média o o raio fica fácil:

ε a = ε m á x = ε m é d + R

ε a = ε m á x = 582     + 1129 = 1711   μ

ε b = ε m í n = ε m é d - R

ε b = ε m í n = 582 - 1129 = - 547   μ

Para achar a deformação ε c , a gente deve utilizar a equação que relaciona as tensões em x e y , com o coeficiente de Poisson.

ε c = - ν E ⋅ ( σ x + σ y )

Substituindo:

ε c = - 0,25 200 × 10 9 ⋅ ( 72 × 10 6 + 240 × 10 6 )

ε c = - 390   μ

Passo 6

Agora podemos achar o ângulo por meio da geometria do círculo de Mohr:

t g 2 θ p = γ ε x - ε y

t g 2 θ p = 2000 60 - 1110

t g 2 θ p = - 1,9048

2 θ p = a r t c g - 1,9048 = - 62 °

θ p = - 31 °

Resposta

a)

θ p = 31 °

ε a = 1711   μ

ε b = - 547   μ

ε c = - 390   μ

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