Para o estado de tensão mostrado, determine o intervalo de valores de para os quais a tensão normal é igual ou menor que 100 MPa.

Obs: na verdade os valores para a tensão nesse exercício estão errados, os valores corretos para as tensões são na verdade 90 MPa ao invés de 124,1 MPa e 60 MPa ao invés de 82,7 MPa.

Vamos começar escrevendo nossas componentes de tensão que vem do elemento dado no enunciado, onde temos:

Agora, vamos calcular a tensão média, que é dada por:

Agora, vamos calcular o raio do nosso círculo de Mohr, que é dado por:

Beleza! Com esses dados conseguimos esboçar nosso círculo de Mohr, que será dado por:

Beleza! Então, com o círculo de Mohr do passo 2, podemos encontrar as direções principais por trigonometria, onde teremos:

Substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

Beleza, temos todas as informações com relação ao nosso círculo para o estado padrão. Agora vamos delimitar no círculo de Mohr a região onde temos a tensão , então teremos:

Podemos ver que os valores aceitáveis serão os que estão dentro do arco de circunferência DBE. Agora, vamos encontrar o valor para o ângulo , que pode ser encontrado através da seguinte relação trigonométrica:

Agora, nós conhecemos o valor de , que é a coordenada do centro do círculo e também o seu raio, então, o valor de será:

Beleza! Agora nós vamos encontrar os ângulos entre os pontos que já temos até os limites do arco para os valores possíveis de , sempre lembrando que uma rotação no elemento diferencial equivale a uma rotação de no círculo de Mohr. Então, começando do ponto X até o ponto D, teremos:

Agora, do ponto X até o ponto E teremos:

Com esses dois valores, nosso intervalo para será:

Feshooow!