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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 19.Problemas - Ex. 88

Uma haste uniforme CD de 10 lb é soldada em C a um eixo de massa desprezível que é soldada aos centros de dois discos uniformes de 20 lb A e B. Sabendo que os discos rolam sem deslizamento, determine o período de pequenas oscilações do sistema.

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine o período de pequenas oscilações do sistema

W A = W B = W disco 

Posição 1

T 1 = 1 2 2 I - A disco  θ ˙ m 2 + 1 2 2 W disco  g r θ ˙ m 2 + 1 2 I - C n θ ˙ m 2 + 1 2 W C D g l 2 - r 2 θ ˙ m 2

J - A d i s c o = I W disco  2 r 2 = 1 2 ( 20 ) g ( 1 ) 2 = 10 g

I - C D = 1 12 W C D g l 2 = 1 12 ( 10 ) g ( 3 ) 2 = 15 2 g

T 1 = 1 2 g 20 + 40 + 15 2 + 5 2 θ ˙ m 2 T 1 = 1 2 g 70 θ ˙ m 2                             V 1 = 0

Passo 2

Posição 2

T 2 = 0 V 2 = W C i l 2 1 - c o s ⁡ θ m

ângulos pequenos

1 - c o s ⁡ θ m = 2 s i n 2 ⁡ θ m 2 ≈ θ m 2 2

V 2 = 1 2 W C D l θ m 2 2 = 1 2 ( 10 ) ( 1.5 ) θ m 2 = 1 2 15 θ m 2 1 2 ( 15 ) θ m 2

Passo 3

Conservação de energia e movimento harmônico simples

T 1 + V 1 = T 2 + V 2

θ ˙ m = ω n θ m

1 2 g ( 70 ) ω n 2 θ m 2 + 0 = 0 + 1 2 ( 15 ) θ m 2

ω n 2 = 15 g 70

τ n = 2 π ω n = 2 π 70 ( 15 ) ( 32.2 )

τ n = 2.39 s

Resposta

τ n = 2.39 s

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