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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 19.Problemas - Ex. 61

Um fio homogêneo dobrado para formar a figura mostrada é preso a um suporte de pino em A. Sabendo que r = 220 mm e que o Ponto B é empurrado para baixo 20 mm e liberado, determine a magnitude da velocidade de B, 8 s depois.

Passo 1

O enunciado pede que a determine a magnitude da velocidade de B, 8 s depois.

Determine a localização do centroide G

Deixe

ρ = m a s s a   p o r   u n i d a d e   d e   c o m p r i m e n t o

Então a massa total

m = ρ ( 2 r + π r ) = ρ r ( 2 + π )

Sobre C m g c = 0 + π r ρ 2 r π g = 2 r 2 ρ g

y - = 2 r π para um semicírculo

ρ r ( 2 + π ) c = 2 r 2 ρ , c = 2 r ' ( 2 + π )

Passo 2

Equação do movimento + Σ M 0 = Σ M 0 c f f : α = θ ¨ a t = c α = c θ ¨

- m g c sin ⁡ θ = I → α + m c a n                 s i n ⁡ θ ≈ θ

I - + m c 2 θ ¨ + m g c θ = 0                     I 0 θ ¨ + m g c θ = 0

Momento de Inércia l - + m c 2 = I 0

I 0 = I 0 semicirc.  + I 0 linha  = m semicirc.  r 2 + m linha  ( 2 r ) 2 12

m semicirc,  = p π r m linha  = 2 ρ r                   p = m ( 2 + π ) r

I 0 = ρ π r 2 ⋅ r + 2 r ⋅ r 2 3 = m r 2 ( 2 + π ) π + 2 3

m r 2 ( 2 + π ) π + 2 3 θ ¨ + m g 2 r ( 2 + π ) θ = 0

Passo 3

Frequência

ω n 2 = 2 g π + 2 3 r = ( 2 ) ( 9.81 ) π + 2 3 ( 0.220 ) ω n 2 = 23.418 s - 2                                                                       ω n = 4.8392 r a d / s

θ = θ m sin ⁡ ω n t + ϕ                                                       y B = r θ

Em t = 0 y B = 20 m m ,               y ˙ B = 0

y ˙ B = 0 = y n m ω n c o s ⁡ ( 0 + ϕ ) , ϕ = π 2 y B = 20 m m = y B m s i n ⁡ 0 + π 2 , y B m = 20 m m

y B = ( 20 m m ) s i n ⁡ ω n t + π 2 ω n = 4.8392 r a d / s y ˙ B = 20 ω c o s ⁡ ω n t + π 2 = - ( 20 m m ) ω n s i n ⁡ ω n t

Em t = 8s

y ˙ B = - ( 20 ) ( 4.8392 ) s i n ⁡ [ ( 4.8392 ) ( 8 ) ] = - ( 96.88 ) ( 0.8492 ) = - 82.2 m m / s

v B = 82.2 m m / s ↑

Resposta

v B = 82.2 m m / s

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