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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia Estática - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 127

Localize o centroide overset(-)(y) da área sombreada.

Passo 1

O problema pede que encontremos o centroide no eixo overset(-)(y) , para isso vamos usar a formula do centroide para figuras compostas

overset(-)(y) = (sum overset(-)(y) A)/(sum A)

Vamos separar nossa figura em duas regiões, um triângulo(1) e o retângulo(2):]

Aí a gente acha a área de cada uma, e também acha a coordenada y do centroide de cada uma em relação a esse sistema de coordenadas que a gente tem.

Passo 2

Para calcular o que a gente precisa, precisamos da altura do triângulo. Podemos achar fazendo pitagoras, porque uma das metades dele é um triângulo retângulo

a^2 = h^2 + ((a)/(2))^2

h = sqrt(a^2 - ((a)/(2))^2)

Aí nossas áreas ficam

A_1 = (h a)/(2) = (a)/(2) sqrt(a^2 - ((a)/(2))^2)

A_2 = a^2

Passo 3

O centroide do triângulo fica a um terço da base. Como nossa origem de y está na base

overset(-)(y_1) = (h)/(3) = (1)/(3) sqrt(a^2 - ((a)/(2))^2)

E do retângulo, o centroide fica no seu centro. Como ele está na parte negativa de y , colocamos um sinal de menos

overset(-)(y_2) = - (a)/(2)

Podemos colocar essas coisas numa tabelinha e já calcular os somatórios:

Passo 4

Então agora usar a formula do primeiro passo, com as informações do passo anterior para calcular o centroide:

overset(-)(y) = (sum overset(-)(y) A)/(sum A) = (- (8 a^3)/(24))/(a^2 * (1 + (sqrt(3))/(4))) = - (8 a)/(24 * (1 + (sqrt(3))/(4)))

overset(-)(y) = - 0,263 a

Resposta

overset(-)(y) = - 0,263 a

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