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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 141a

O momento M é aplicado a uma viga de seção transversal mostrada, em um plano formando um ângulo β com a vertical. Determinar: (a) a tensão no ponto A .

Passo 1

Problemas deste tipo serão resolvidos utilizando o seguinte passo-a-passo:

  1. Calcular os momentos de inércia do corpo em relação a cada eixo.
  2. Medir a distância do ponto que estamos analisando ao eixo.
  3. Decompor o momento em cada eixo.
  4. Aplicar a equação que relaciona tensão normal com momento fletor, que esta mostrada abaixo:

O problema pede o maior momento fletor permissível, que é dado pela equação:

σ = M ⋅ c I

Onde:

  • σ é a tensão normal admissível.
  • M é o momento fletor.
  • I o momento de inércia.
  • c a maior distância entre o eixo e o ponto da peça.

Passo 2

Então vamos seguir nosso passo-a-passo e calcular o momento de inércia desse corpo para os dois eixos y e z . Começando pelo eixo y :

Vamos lembrar que o momento de inércia da barra é:

I = 1 12 b ⋅ h 3

I 1 = 1 12 ⋅ 260 × 10 - 3 ⋅ 150 × 10 - 3 3

I 1 = 7,3125 × 10 - 5   m 4

Porém devemos substratir o efeito dos dois furos existentes na peça, para calcular o momento de inércia destes dois furos vamos fazer:

I 2 = 2 × 1 4 π ⋅ r 4

I 2 = 2 × 1 4 π ⋅ 25 × 10 - 3 4

I 2 = 2 × ( 3,068 × 10 - 7 )

I 2 = 6,136 × 10 - 5   m 4

Logo o momento de inércia total é a diferença entre os dois valores:

I z = I 1 - I 2

I z = 7,3125 × 10 - 5 - 6,136 × 10 - 5  

I z = 1,1765 × 10 - 5   m 4

Agora faremos a mesma coisa mas considerando o eixo y :

I 1 = 1 12 b ⋅ h 3

I 1 = 1 12 ⋅ 150 × 10 - 3 ⋅ 260 × 10 - 3 3

I 1 = 2,197 × 10 - 4   m 4

Substraindo o efeito dos dois furos existentes na peça, para calcular o momento de inércia destes dois furos vamos fazer:

I 2 = 2 × 1 4 π ⋅ r 4 + A ⋅ d 2

I 2 = 2 × 1 4 π ⋅ 25 × 10 - 3 4 + π ⋅ ( 25 × 10 - 3 ) ² ⋅ ( 65 × 10 - 3 ) 2

I 2 = 2 × ( 3,068 × 10 - 7 + 8,296 × 10 - 6 )

I 2 = 1,721 × 10 - 5   m 4

Logo o momento de inércia total é a diferença entre os dois valores:

I y = I 1 - I 2

I y = 2,197 × 10 - 4 - 1,721 × 10 - 5  

I y = 2,0249 × 10 - 4   m 4

Passo 3

Medir as distâncias:

y A = 75   m m

z A = 130   m m

Passo 4

Agora vamos decompor o momento nos eixos y e z :

M y = M ⋅ s e n ( 50 ° )

M y = 7 ⋅ 0,766 = 5,36   k N ⋅ m

M z = - M ⋅ c o s ⁡ ( 50 ° )

M z = - 7 ⋅ 0,643 = - 4,5   k N ⋅ m

Passo 5

Finalmente aplicar a equação do momento fletor:

σ = M ⋅ c I

Mas aqui temos de lembrar que existem dois momentos, um em cada eixo, então a nova tensão será calculada considerando os dois eixos:

σ A = M z ⋅ y A I z + M y ⋅ z A I y

Substituindo os valores:

σ A = - 4500 ⋅ 0,075 1,1765 × 10 - 5 + 5360 ⋅ 0,130 2,0249 × 10 - 4

σ A = - 28,68 + 3,44

σ A = - 25,24   M P a

Resposta

σ A = - 25,24   M P a

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O momento M atua em um plano vertical e é aplicado a uma viga orientada conforme mostra a figura. Determine:O ângulo que a linha neutra forma com a horizontal e.A tensão de tração máxima na viga.
O momento M atua em um plano vertical e é aplicado a uma viga orientada, conforme mostra a figura. Determine a tensão no ponto A.
O momento M atua em um plano vertical e é aplicado a uma viga orientada, conforme mostra a figura. Determine a tensão no ponto A.
O tubo mostrado na figura tem parede com espessura constante de 12mm. Para o carregamento dado, determine.A tensão nos pontos A e B.
O momento M atua em um plano vertical e é aplicado a uma viga orientada, conforme mostra a figura. Determine a tensão no ponto A.