Enunciado

As partes superior e inferior da viga de madeira são reforçadas com tiras de aço, como mostra a figura. Determine a tensão de flexão máxima desenvolvida na madeira e no aço se a viga for submetida a um momento fletor M = 5 kN.m. Trace um rascunho da distribuição de tensão que age na seção transversal. Considere Emad = 11 GPa, Eaço = 200 GPa.

Passo 1

Faaaala, meu povo bonito!! Tudo bem com vocês?? A nossa questão de hoje nos traz uma viga composta por dois materiais diferentes, mas vou te explicar direitinho.

Os materiais que compõem são a madeira e o aço, e ele nos pede para calcular as duas tensões de flexão máximas (tanto para a madeira quanto para o aço) para um momento fletor igual a 5 kN.m.

Viu?? Ela só tem cara de malvada, esse tipo de questão tem um passo a passo. Só seguir ele que dá bom. Vem comigo!!

Passo 2

A primeira coisa que precisamos achar é a relação entre os coeficientes E m a d e E a ç o .

n   =     E m a d   E a ç o   =   11 200 = 0,055

Como a gente deixou o aço no denominador, nossa estratégia vai ser trocar a parte de madeira por uma equivalente de aço.

A gente pode multiplicar o comprimento da madeira por esse valor e achar um comprimento equivalente em aço:

b ’   =   n b   =   0,0555   x   200  

b ' =   11   mm

Nossa nova viga equivalente toda em aço é:

Passo 3

Agora que já temos nossas dimensões, podemos calcular nossos momentos máximos da viga. Para isso, vamos calcular primeiro o nosso I, para só depois substituir na nossa formulinha.

I   =   2 0,2   ×   0,02 3 12 + 0,2   × 0,02 × 0,160 2 + ( 0,011 × 0,3 3 12 )  

I   =   2,298 ×   10 - 4   m ` 4

A tensão máxima no aço vai estar no ponto mais da distante da linha neutra (nesse caso, ela passa pelo centroide) que pertence a região que inicialmente era de aço. Então

c = 300 2 + 20 = 170

c = 0,17   m

Logo:

σ a ç o =   M   c I

σ a ç o = 5000   x   0,17 2,298   x   10 - 4

σ a ç o = 3,7   MPa              

A tensão máxima na madeira vai estar no ponto mais da distante da linha neutra (nesse caso, ela passa pelo centroide) que pertence a região que inicialmente era de madeira. Então

c = 300 2 = 150

c = 0,15   m

σ m a d =   n M   c I

σ m a d = 0,055   × 5 ×   10 3 × 0,15 2,2 98 ×   10 - 4

σ m a d = 0,179   MPa              

Repara que a gente multiplicou nossa fórmula comum pelo n na hora de calcular a tensão de madeira, porque foi nesse material que a gente fez a transformação, ok?

Passo 4

Como já temos nosso resultado, falta só esboçar!! A tensão é linear para os dois materiais. Ela vai zerar na linha neutra.

Mas repara que a tensão do aço vai ser máxima em 3,7   M P a   e mínima no encontro com a parte de madeira.

E a tensão máxima da madeira 0,179   M P a acontece nesse encontro, mas como o E do aço é muito maior, a tensão máxima da madeira vai ser bem menor do que a mínima tensão na parte de aço.

Lembrando que na parte de cima vamos ter compressão e na parte de baixo tração, por causa da orientação do momento.

Logo, nosso desenho fica

Resposta

σ a ç o =   3,7   MPa              

σ m a d = 0,179   MPa              

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