Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Mecânica dos Materiais- Ed: 7º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 47
Uma laje de concreto é reforçada por barras de de diâmetro, colocadas com distanciamento de entre os centros, conformo mostra a figura. O módulo de elasticidade é de para o concreto e de para o aço. usando uma tensão admissível de para o concreto e de para o aço, determine o maior momento fletor por metro de largura que pode ser aplicado com segurança a laje.
Passo 1
Fala galera, essa questão pode parecer que foge um pouco do padrão do que estávamos fazendo, mas não, ela ainda é bem tranquila de ser resolvida, porque ela vai suar conceitos bem parecidos com o que já estávamos vendo, só vamos ter alguns macetinhos novos pra ajudar a gente, com isso, bora meter a mão na massa.
Sabemos que o nosso fator a ser calculado é dado por:
Nesse tipo de questão, o macete vai ser sempre transformar o aço em concreto, assim, vamos ter que:
E o que fazíamos com esse fator? Multiplicávamos ele pela largura da nossa seção, certo? Aqui vamos usar um conceito parecido, porém, não igual, porque vamos ter que multiplicar pela área da seção de aço, e para isso precisamos saber o tamanho da nossa seção, e é bem simples, eu vou pegar a distância entre centros de barras, e com isso teremos a seguinte seção:
Agora pensa só, temos duas metades na nossa seção de concreto, certo? Assim duas metades são iguais a 1 inteiro, assim a área de aço que temos na seção é dada por:
E a mudança que vamos fazer é exatamente na área de aço, assim vamos ter que:
E agora que fizemos isso, vamos aprender um macete MUITO MANEIRO, para determinarmos a LN, é tão maneiro que vou explicar ele no próximo passo.
Passo 2
Para determinarmos a LN eu vou primeiro mostrar a seção e depois explico ela, no caso, a nossa seção vai virar o seguinte:
Agora perceba o seguinte, veja que a largura da seção de concreto e a distância do centroide da região que está o aço foram mantidos intactos, são exatamente iguais a primeira seção que fizemos, o que tem de novo?
- Primeiro, ao invés de usarmos a área da seção de aço normal, estamos usando a de aço modificada
- Segundo, perceba que eu posicionei a LN no que eu representei como o final da seção de concreto, isso significa que a seção de concreto realmente acaba ali? Não não, isso é só um macete para podermos fazer as contas.
Concreto é muito fraquinho para tração, então quem obrigatoriamente vai segurar a tração é o aço, por isso colocamos a REGIÃO toda do aço abaixo da LN.
Em contra partida, o concreto é muito TOP com compressão, e ele quem vai segurar a compressão toda, por isso fazemos ele totalmente acima da LN. Sacou a facilidade? Fazendo isso a gente consegue saber bem onde usar dados do aço e onde usar dados do concreto.
E a LN? É bem simples é só fazer a área de concreto multiplicando pela distancia do centroide dela até a suposta LN, e isso tem que ser igual a área modificada do aço multiplicada pela distancia dela a té a suposta LN, assim temos que:
Resolvendo a equação, temos que:
E assim ficamos com o valor positivo. Para o momento de inércia, temos a seguinte equação a ser feita:
e para o aço teremos que:
Como a altura é muito, muito, muito pequena, podemos considerar a primeira parte zero, assim temos que:
Assim teremos que:
E agora só precisamos determinar os pontos mais distantes da LN no concreto e no aço, assim teremos que:
Agora vamos para as nossas tensões.
Passo 3
Nosso objetivo é determinar o máximo momento, e a fórmula que relaciona a tensão com o momento é dado por:
E se verificarmos a estrutura que foi transformada, no caso o aço, teremos que usar a seguinte equação:
Temos então que:
- Verificando o concreto
- Verificando Aço
Assim temos que:
Assim temos que:
Como queremos o momento mais seguro, precisamos escolher o menor dos dois, assim o nosso momento vai ser dado por:
Porém, lembre-se que quero o momento aplicado de metro em metro, e usamos para o nosso calculo uma seção de largura dada por 139,7 mm, assim, basta sabermos quantos intervalos desses cabem em 1m, e multiplicamos essa razão pelo nosso momento, assim, teremos que: