Enunciado

Resolva o Problema 10.6 usando o círculo de Mohr.

Passo 1

Começaremos o exercício calculando o centro e o raio do círculo de Mohr:

epsilon_C = (epsilon_x + epsilon_y)/(2) = (120 (10^(- 6)) - 180 ( 10^(- 6) ))/(2) -> epsilon_C = - 30 (10^(- 6))

R = sqrt((epsilon_y - epsilon_C)^2 + ((gamma_x y)/(2))^2) = sqrt([(- 180) (10^(- 6)) - ( - 30 ) ( 10^(- 6) )]^2 + [(150 ( 10^(- 6) ))/(2)]^2)

R = 167,71 ( 10^(- 6) )

Passo 2

Agora iremos esboçar o círculo de Mohr para o sistema em estudo, com as coordenadas A ( epsilon_x ; 0,5 gamma_x y ) e C ( epsilon_C ; 0 ) :

Do círculo de Mohr, podemos obter o valor das deformações principais representadas pelas coordenadas dos pontos B e D:

epsilon_1 = epsilon_C + R = - 30 (10^(- 6)) + 167,71 (10^(- 6)) -> epsilon_1 = 137,71 ( 10^(- 6) )

epsilon_2 = epsilon_C - R = - 30 (10^(- 6)) - 167,71 (10^(- 6)) -> epsilon_2 = - 197,71 ( 10^(- 6) )

Agora podemos encontrar a orientação das deformações principais:

t g (2 theta_P 1) = (0,5 gamma_x y)/(epsilon_x - epsilon_C) -> theta_P 1 = (1)/(2) t g^(- 1) [(0,5 gamma_x y)/(epsilon_x - epsilon_C)]

theta_P 1 = (1)/(2) t g^(- 1) [(0,5 (150) (10^(- 6)))/(120 (10^(- 6)) - (- 30) (10^(- 6)))] -> theta_P 1 = 13,28 °

E, por sua vez:

theta_P 2 = theta_P 1 - 90 ° -> theta_P 2 = - 76,72 °

Passo 3

Agora iremos encontrar o plano de máximo cisalhamento, representado pelo ponto E no círculo de Mohr do passo 2:

gamma_m a x = - 2 R = - 2 ( 167,71 ) ( 10^(- 6) )

gamma_m a x = - 335,41 ( 10^(- 6) )

E, por fim, iremos encontrar a direção do plano de máximo cisalhamento:

t g (2 theta_s) = [- (epsilon_x - epsilon_C)/(0,5 gamma_x y)] -> theta_s = (1)/(2) t g^(- 1) [- (epsilon_x - epsilon_C)/(0,5 gamma_x y)]

theta_s = (1)/(2) t g^(- 1) [- (120 ( 10^(- 6) ) - ( - 30 ) ( 10^(- 6) ))/(0,5 ( 150 ) ( 10^(- 6) ))]

theta_s = - 31,72 ° ↻

Resposta

epsilon_1 = 137,71 ( 10^(- 6) )

epsilon_2 = - 197,71 ( 10^(- 6) )

theta_P 1 = 13,28 °

theta_P 2 = - 76,72 °

gamma_m a x = - 335,41 ( 10^(- 6) )

theta_s = - 31,72 ° ↻

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