Enunciado

Resolva o Problema 10.9 usando o círculo de Mohr.

Passo 1

Começaremos o exercício calculando o centro e o raio do círculo de Mohr:

epsilon_C = (epsilon_x + epsilon_y)/(2) = (260 (10^(- 6)) + 320 ( 10^(- 6) ))/(2) -> epsilon_C = 290 (10^(- 6))

R = sqrt((epsilon_y - epsilon_C)^2 + ((gamma_x y)/(2))^2) = sqrt([(320) (10^(- 6)) - ( 290 ) ( 10^(- 6) )]^2 + [(180 ( 10^(- 6) ))/(2)]^2)

R = 94,87 ( 10^(- 6) )

Passo 2

Agora iremos esboçar o círculo de Mohr para o sistema em estudo, com as coordenadas A ( epsilon_x ; 0,5 gamma_x y ) e C ( epsilon_C ; 0 ) :

Do círculo de Mohr, podemos obter o valor das deformações principais representadas pelas coordenadas dos pontos B e D:

epsilon_1 = epsilon_C + R = 290 (10^(- 6)) + 94,87 (10^(- 6)) -> epsilon_1 = 384,87 ( 10^(- 6) )

epsilon_2 = epsilon_C - R = 290 (10^(- 6)) - 94,87 (10^(- 6)) -> epsilon_2 = 195,13 ( 10^(- 6) )

Agora podemos encontrar a orientação das deformações principais:

t g (2 theta_P 2) = (0,5 gamma_x y)/(epsilon_x - epsilon_C) -> theta_P 2 = (1)/(2) t g^(- 1) [(0,5 gamma_x y)/(epsilon_x - epsilon_C)]

theta_P 2 = (1)/(2) t g^(- 1) [(0,5 (180) (10^(- 6)))/(260 (10^(- 6)) - (290) (10^(- 6)))] -> theta_P 2 = 35,78 °

E, por sua vez:

theta_P 1 = 90 ° - theta_P 2 -> theta_P 1 = 54,22 °

Passo 3

Agora iremos encontrar o plano de máximo cisalhamento, representado pelo ponto E no círculo de Mohr do passo 2:

gamma_m a x = - 2 R = - 2 ( 94,87 ) ( 10^(- 6) )

gamma_m a x = - 189,74 ( 10^(- 6) )

E, por fim, iremos encontrar a direção do plano de máximo cisalhamento:

t g (2 theta_s) = [- (epsilon_x - epsilon_C)/(0,5 gamma_x y)] -> theta_s = (1)/(2) t g^(- 1) [- (epsilon_x - epsilon_C)/(0,5 gamma_x y)]

theta_s = (1)/(2) t g^(- 1) [- (260 (10^(- 6)) - ( 290 ) ( 10^(- 6) ))/(0,5 ( 180 ) ( 10^(- 6) ))]

theta_s = 9,22 ° ↺

Resposta

epsilon_1 = 384,87 ( 10^(- 6) )

epsilon_2 = 195,13 ( 10^(- 6) )

theta_P 1 = 54,22 °

theta_P 2 = 35,78 °

gamma_m a x = - 189,74 ( 10^(- 6) )

theta_s = 9,22 ° ↺

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