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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 163

A seção Z mostrada está sujeita a um momento M 0 , atuando em um plano vertical. Determinar o maior valor permissível do momento fletor M 0 , se a máxima tensão não excede 100   M P a . Dados: I m á x = 2,28 × 10 6   m m 4 ; I m í n = 0,23 × 10 6   m m 4 , eixos principais ∡ 25,7 ° e ∢ 64,3 ° .

Passo 1

Como z está para a direita, precisamos inverter essa seção, para os eixos ficarem do jeitinho que a gente conhece ( z para a esquerda e y para cima).

Vamos entender esses dados que a gente recebeu num desenho:

O ângulo 25,7 ° é o positivo em relação ao eixo z , e localiza nosso eixo principal u . Que vai ser o nosso eixo com o momento de inércia mínimo, porque vemos que a área da seção está distribuída muito próxima a ele:

I m í n = I u = 0,23 ⋅ 10 6   m m 4 = 0,23 ⋅ 10 - 6   m 4

O ângulo 64,3 ° é o negativo em relação ao eixo z . Ele localiza o eixo principal v . Que tem o momento de inércia máximo.

I m á x = I v = 2,28 ⋅ 10 6   m m 4 = 2,28 ⋅ 10 - 6   m 4

O ângulo entre o eixo z e o eixo de maior momento de inércia é (que também é o ângulo entre y e u )

θ m = 64,3 °

Bora partir para descobrir esse momento máximo!

Passo 2

Primeiro a gente tem que descobrir onde é a linha neutra. Isso porque a tensão máxima ocorre nos pontos mais distantes dela. A gente descobre isso pela fórmulinha:

t g   ϕ = I v I u   t g   θ m

Onde ϕ é o ângulo entre a linha neutra e o eixo v . Substituindo os nossos dados:

t g   ϕ = 2,28 ⋅ 10 6 0,23 ⋅ 10 6   t g   64,3 °

ϕ = 87,22 °

Nossa linha neutra está nessa posição:

Vemos que os pontos mais distantes da nossa linha neutra são A   e B . Eles terão as tensões máximas.

Passo 3

Vamos usar o ponto B para descobrir o momento máximo, já que os pontos são distantes de L N   de forma semelhante.

A tensão nele tem essa carinha:

σ B = - M v U B I v + M u V B I u

Vamos projetar o nosso momento M 0 , que está na direção do eixo z , nos eixos principais:

M v = - M 0 cos ⁡ θ m = - M 0 cos ⁡ 64,3 ° ,     M u = - M 0   s e n   θ m = - M 0   s e n   64,3 °

E achar U B e V B :

U B = - ( z B sen ⁡ θ m + y B cos ⁡ θ m ) = - 0,0 35   s e n   64,3 ° - 0,045 cos ⁡ 64,3 ° = - 0,0 5105   m

V B = y B   s e n   θ m - z B cos ⁡ θ m = 0,045   s e n   64,3 ° - 0,0 35 cos ⁡ 64,3 ° = 0,0 2537   m

Passo 4

Como nesse ponto temos compressão:

σ m á x B = - 100   M P a = - 100 ⋅ 10 6   M P a

σ B = - M v U B I v + M u V B I u

Agora é substituir tudo na fórmulinha:

- 100 ⋅ 10 6 = - ( - M 0 cos ⁡ 64,3 ° ) ⋅ - 0,05105 2,28 ⋅ 10 - 6 + - M 0   s e n   64,3 ° ⋅ 0,02537 0,23 ⋅ 10 - 6

M 0 = 916   N ⋅ m

Resposta

M 0 = 916   N ⋅ m

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O momento M é aplicado a uma viga com a seção transversal mostrada na figura em um plano formando um ângulo β com a vertical. Determine a tensão no.Ponto A;Ponto B;Ponto D.
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O momento M é aplicado a uma viga com a seção transversal mostrada na figura em um plano formando um ângulo β com a vertical. Determine a tensão no.Ponto A;Ponto B;Ponto D.
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