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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Mecânica dos Materiais- Ed: 7º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 130

O momento M é aplicado a uma viga com a seção transversal mostrada na figura em um plano formando um ângulo β com a vertical. Determine a tensão no.

  1. Ponto A;
  2. Ponto B;
  3. Ponto D.

Passo 1

Para determinação de tensões em elementos que estão sujeitos a momentos fletores inclinados, ou ainda, momentos fletores oblíquos, ou momentos fletores assimétricos, temos a seguinte fórmula:

σ = - M z y I z z + M y z I y y

Em que:

M z = p a r c e l a   d o   m o m e n t o   n a   d i r e ç ã o   z

M y = p a r c e l a   d o   m o m e n t o   n a   d i r e ç ã o   y

y   e   z = c o o r d e n a d a s   n o   p o n t o   e m   q u e   s e   d e s e j a   s a b e r   a   t e n s ã o   e m   c a d a   d i r e ç ã o

I z z = m o m e n t o   d e   i n é r c i a   e m   t o r n o   d e   z

I y y = m o m e n t o   d e   i n é r c i a   e m   t o r n o   d e   y

E vamos ver que a melhor forma de determinarmos esses valores vai ser sendo só rotacionar as seções, o que torna tudo mais tranquilo.

Ou seja, precisamos seguir um passo a passo para podermos determinar as tensões, então vamos lá:

Primeiro temos que determinar os momentos em cada uma das direções, ou seja, vamos abrir os momentos fletores em cada uma das direções, e depois analisamos cada uma das direções, sendo assim teremos que:

Decompondo os momentos fletores teremos que:

Agora que já temos os momentos fletores em cada direção, podemos analisar cada uma delas separadamente.

Passo 2

Como a seção é simétrica, não precisamos determinar a LN, porque ela já vai estar no meio das seções, então precisamos determinar os momentos de inércia e as distancias em y e em z, olhando cada direção teremos que:

  • I z z

    • Olhando a seção Z apenas com o momento nessa direção teremos que:

    I z z = I 1 + I 2 = 50,8 × 203,2 3 12 + 101,6 × 50,8 3 12 = 36628365,45   m m 4

    Nessa seção temos que determinar as tensões no ponto A, B e D, e para isso precisamos do valor de y, sendo assim teremos que:

    E com isso podemos determinar uma parte da tensão máxima, já que podemos usar a seguinte parte da equação.

    σ A = - M z y A I z z

    σ B = - M z y B I z z

    σ D = - M z y D I z z

    Com isso teremos que:

    M z = 1062   k N m m = 1062000   N m m

    I z z = 36628365,45   m m 4

    y A = 25,4   m m

    y B = - 25,4   m m

    y D = - 101,6   m m

    σ A = - M z y A I z z = - 1062000   N m m 25,4   m m 36628365,45   m m 4 = - 0,736 N m m 2 = - 0,736   M P a

    σ B = - M z y B I z z = - 1062000   N m m - 25,4 m m 36628365,45   m m 4 = 0,736   M P a

    σ D = - M z y D I z z = - 1062000   N m m - 101,6 m m 36628365,45   m m 4 = 2,946   M P a

    Agora vamos ao cálculo na outra direção.

  • I y y

Olhando a seção y apenas com o momento nessa direção teremos que:

mas olhar a seção assim é um pouco complicada, podemos virar ela e assim teremos que:

Porém para analisarmos ela, precisamos determinar a LN dela, assim, teremos que a equação da LN será dada por:

y - = A 1 z 1 + A 2 z 2 A 1 + A 2

y - = A 1 z 1 + A 2 z 2 A 1 + A 2

y - = 50,8 × 203,2 × 127 + 101,6 × 50,8 × 50,8 50,8 × 203,2 + 101,6 × 50,8 = 101,6   m m

Tendo a LN, podemos determinar o momento de inércia.

I y y = I 1 + A 1 d 1 2 + I 2 + A 2 d 2 2

I y y = 203,2 × 50,8 3 12 + 50,8 × 203,2 × 25,4 2 + 50,8 × 101,6 3 12 + 50,8 × 101,6 × 50,8 2

I y y = 26638811,24   m m 4

Nessa seção temos que determinar as tensões no ponto A, B e D, e para isso precisamos do valor de Z, sendo assim teremos que:

E com isso podemos determinar uma parte da tensão máxima, já que podemos usar a seguinte parte da equação.

σ A = M y z A I y y

σ B = M y z B I y y

σ D = M y z D I y y

Com isso teremos que:

M y = 386,5   k N m m = 386500   N m m

I y y = 26638811,24   m m 4

Z A = - 101,6   m m

Z B = - 101,6   m m

Z D = 0   m m

σ A = M y z A I y y = 386500   N m m ( - 101,6 )   m m 26638811,24   m m 4 = - 1,474 N m m 2 = - 1,474   M P a

σ B = M y z B I y y = 386500 N m m ( - 101,6 )   m m 26638811,24   m m 4 = - 1,474   M P a

σ D = M y z D I y y = 386500   N m m ( 0 )   m m 26638811,24     m m 4 = 0   M P a

E com isso podemos determinar a tensão total nos pontos A, B e D juntando as duas parcelas:

Sendo assim teremos que para o item a):

σ A = - 0,736 - 1,474 = - 2,21   M P a  

Sendo assim teremos que para o item b):

σ B = 0,736 - 1,474 = - 0,74   M P a  

Sendo assim teremos que para o item c):

σ D = 2,946 - 0 = 2,94   M P a  

Resposta

  1. σ A = - 2,21   M P a  

  2. σ B = - 0,74   M P a

  3. σ D = + 2,94   M P a
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