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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Mecânica dos Materiais- Ed: 7º - Capítulo 7.Problemas - Ex. 157

O seguinte estado de deformação foi determinado na superfície de uma peça de máquina de ferro fundido:

ϵ x = - 720   μ ;                 ϵ y = - 400   μ ;                 γ x y = 660   μ

Sabendo que E = 69 GPa e G = 28 GPa, determine os planos e tensões principais (a) indicando o correspondente estado plano de tensão [use a Equação (2.36), a Equação (2.43)] e em seguida utilize o círculo de Mohr para tensão e, (b) utilize o círculo de Mohr para deformação para determinar determinar a orientação e a intensidade das deformações e determine as tensões correspondentes.

Passo 1

Opaa! Fala pessoal, beleza? Bora pra mais um?! Para resolver esse exercício, começando pela letra (a), vamos precisar calcular as tensões em x, y e a tensão de cisalhamento em função das deformações fornecidas, com isso conseguiremos desenhar o círculo de Mohr. Com o círculo, conseguiremos encontrar as direções e as tensões principais.

Para a letra (b) vamos utilizar as deformações dadas para desenhar o círculo de Mohr para as deformações, fazendo isso conseguimos encontrar as direções principais. E depois, encontrando as deformações principais, podemos encontrar as tensões principais correspondentes. Então bora!

Passo 2

Beleza! E nós sabemos que as tensões nas direções x, y e a tensão de cisalhamento podem ser dadas por:

σ x = E 1 - ν 2 ϵ x + ν ϵ y

σ y = E 1 - ν 2 ϵ y + ν ϵ x

τ x y = G γ x y

Beleza, então precisamos calcular o valor de ν para utilizar as equações acima. Sabemos que o módulo de cisalhamento pode ser escrito como:

G = E 2 1 + ν → 1 + ν = E 2 G → ν = E 2 G - 1

Substituindo os valores conhecidos, temos:

ν = 69 2 28 - 1 → ν = 0 , 2321

Então, as tensões nas direções x, y e a tensão de cisalhamento serão:

σ x = E 1 - ν 2 ϵ x + ν ϵ y = 69.10 9 1 - 0,2321 2 - 720.10 - 6 + 0,2321 - 400.10 - 6

σ x = - 59,3   M P a

σ y = E 1 - ν 2 ϵ y + ν ϵ x = 69.10 9 1 - 0,2321 2 - 400.10 - 6 + 0,2321 - 720.10 - 6

σ y = - 41,4   M P a

τ x y = G γ x y = 28.10 9 660.10 - 6 → τ x y = 18,5   M P a

Com esses pontos podemos desenhar o círculo de Mohr, que será dado por:

Passo 3

Agora, com o círculo de Mohr, vamos encontrar a expressão da tensão média, que será dada por:

σ m e d = σ x + σ y 2 = - 59,3 + - 41,4 2 → σ m e d = - 50,35   M P a

E, o nosso raio do círculo será dado por:

R = σ x - σ y 2 2 + τ x y 2 = - 59,3 - - 41,4 2 2 + 18,5 2

R = 20,55   M P a

Agora vamos encontrar a direção principal para o ponto B, que será dada por:

t g   2 θ b = 2 τ x y σ x - σ y = - 2 18,5 - 59,3 - - 41,4 → θ b = - 32,1 °

E, como sabemos que a outra direção principal A fica do outro lado do círculo, ou seja, a 180°, como cada grau de rotação do elemento diferencial representa dois graus de rotação no círculo, para obter a direção principal em A, basta somar 90° ao valor obtido para θ b , então teremos:

θ a = θ b + 90 ° = - 32,1 + 90 ° → θ a = 57,9 °

Agora, as tensões principais em A e B serão dadas por:

σ a = σ m e d + R = - 50,35 + 20,55 → σ a = - 29,8   M P a

σ b = σ m e d - R = - 50,35 - 20,55 → σ b = - 70,9   M P a

Ufa! Fechamos a letra (a), agora bora pra (b).

Passo 4

Agora para a letra (b), vamos desenhar o círculo de Mohr de deformações com os valores dados lá no enunciado, então teremos:

Então, nesse caso, teremos que as deformações principais em A e B serão dadas por:

ϵ a = ϵ m e d + R

ϵ b = ϵ m e d - R

Então vamos precisar calcular a deformação média e o raio do círculo de Mohr das deformações. Começando pela tensão média, teremos:

ϵ m e d = ϵ x + ϵ y 2 = - 720 + - 40 0 2 → ϵ m e d = - 560   μ

E, o raio do círculo será dado por:

R = ϵ x - ϵ y 2 2 + γ x y 2 2 = - 720 - - 40 0 2 2 + 660 2 2

R = 366,7   μ

Passo 5

Então, as deformações principais serão:

ϵ a = ϵ m e d + R = - 560 + 366,7 → ϵ a = - 193,3   μ

ϵ b = ϵ m e d - R = - 560 - 366,7 → ϵ b = - 926,7   μ

Agora, vamos encontrar os planos principais, para a direção principal em B, teremos:

t g   2 θ b = γ x y ϵ x - ϵ y = 660 - 720 - - 40 0 → θ b = - 32,1 °

E, como sabemos que a outra direção principal A fica do outro lado do círculo, ou seja, a 180°, como cada grau de rotação do elemento diferencial representa dois graus de rotação no círculo, para obter a direção principal em A, basta somar 90° ao valor obtido para θ b , então teremos:

θ a = θ b + 90 ° = - 32,1 + 90 ° → θ a = 57,9 °

Agora conseguimos calcular as tensões correspondentes, que serão dadas por:

σ a = E 1 - ν 2 ϵ a + ν ϵ b = 69.10 9 1 - 0,2321 2 - 193,3.10 - 6 + 0,2321 - 926,7.10 - 6

σ a = - 29,8   M P a

σ b = E 1 - ν 2 ϵ b + ν ϵ a = 69.10 9 1 - 0,2321 2 - 926,7 . 10 - 6 + 0,2321 - 193,3 . 10 - 6

σ b = - 70,9   M P a

Shooow! Fechamos a letra (b) e o exercício como um todo, valeeu!

Resposta

a :   θ a = - 32,1 ° ;   θ b = 57,9 °

a :   σ a = - 29,8   M P a ;   σ b = - 70,9   M P a

b :   θ a = - 32,1 ° ;   θ b = 57,9 °

b :   ϵ a = - 193,3   μ ;   ϵ b = - 926,7   μ

b : σ a = - 29,8   M P a ; σ b = - 70,9   M P a

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Para o estado plano de deformação dado, use o método da seção 7.10 para determinar o estado plano de deformação associado aos eixos x ' e y ' que sofreram uma rotação do ângulo θ dado.
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