Enunciado

O suporte estrutural mostrado é feito de duas vigas de perfil laminado de aço S 130 x 15 , que são simplesmente apoiados em cada uma das extremidades e, quando não carregados, eles simplesmente se tocam no ponto médio C, de cada umas das vigas. Para a carga distribuída mostrada, determinar:

  1. A reação em cada um dos apoios;
  2. A deflexão no ponto médio C.

Usar E = 200   G P a .

Passo 1

Veja que determinamos o que ocorre com o ponto C quando olhamos ele pela barra de cima, porém, lembre-se que ele não é um apoio, logo, precisamos saber o que rola na nossa viga de baixo, para isso, é só transferir a nossa reação em C para a viga de baixo e determinar a deformação nesse ponto também, assim, teremos que:

Definindo a reação de apoio, obtém-se que:

Considerando o ponto C como um engaste, e fazendo o diagrama de cada uma das vigas até esse ponto, obtém-se que:

E aqui vai entrar um conceito novo bem importante, os nossos diagramas de momentos em si não podem nos ajudar diretamente, por isso é importante fazermos uma modificação nele, e é bem simples, como a inércia da nossa barra é toda igual pelo comprimento dela, basta dividirmos os diagramas por E I , mas se ela tivesse diferentes inércias em diferentes trechos, é só dividir cada trecho pelo seu E I respectivo, sendo assim o nosso diagrama passa a ser.

E é esse que vamos usar nos nossos cálculos, beleza?

Passo 2

Agora pensa o seguinte, o nosso ponto C é um ponto importante pois ele é o que faz a ligação com a outra viga, e o que precisamos saber sobre ele é o seguinte. O que ele deforma na viga de cima, obrigatoriamente, ele precisa deformar na viga de baixo, caso contrário, elas não manteriam o contato, com isso, nessa primeira parte vamos determinar a deformação em C na viga ABC.

A   d e f l e x ã o   r e l a t i v a   d o   p o n t o   A   c o m   r e l a ç ã o   a o   p o n t o   d e   r e f e r e n c i a  

q u e   n e s s e   c a s o   é   C

é   i g u a l   a   d e f l e x ã o   d o   p o n t o   A   m e n o s   a   d e f l e x ã o   d a   r e f e r ê n c i a .

Assim vamos ter que:

y A / C = y A - y C

E se liga só, se o ponto A é um apoio, quanto é a deformação nele? Haha, olha que maravilha:

y A = 0

Então:

y A / C = - y C

E como determinamos y A / C ? É bem tranquilo, lembra os diagramas que determinamos nos itens anteriores? Basta pegarmos a distancia do centroide de cada área, entre os pontos A e C, até o ponto que é a nossa referência (que nesse caso é o ponto A) e multiplicarmos pelas respectivas áreas e somar, muito tranquilo, né? Assim vamos ter que, usando apenas as áreas entre o ponto A e o ponto C:

A 4 = - R C a 2 E I × a × 1 2 = - R C a 2 4 E I

Determinando a distância do centroide até o termo de referência, que nesse caso é o ponto A, obtém-se que:

y A / C = y 4 A 4

y A / C = - y C = - R C a 2 4 E I × 2 a 3 = - R C a 3 6 E I

Assim, a nossa deformação é dada por:

y C = R C a 3 6 E I

Passo 3

Como as deformações no ponto C precisam ser iguais, temos que:

- q L 4 8 E I + q L 4 3 E I - R C L 3 6 E I = R C a 3 6 E I

R C ( a 3 + L 3 ) 6 E I = - 3 q L 4 24 E I + 8 q L 4 24 E I

R C ( a 3 + L 3 ) 6 E I = 5 q L 4 24 E I

R C = 5 q L 4 4 ( a 3 + L 3 )

Sabemos pelo enunciado que:

q = 25   k N / m

L = 1,2 m

a = 0,75 m

Substituindo, tem-se que:

R C = 5 × 25 × 1,2 4 4 ( 0,75 3 + 1,2 3 ) = 30,14   k N

Assim podemos determinar as reações de apoio:

V D = V E = R C 2 = 30,14 2 = 15,07   k N

E olhando a outra viga, tem-se que:

V A = V B = q L - R C 2 = 25 × 1,2 - 30,14 2 = 14,93   k N

Resposta

V D = V E = 15,07   k N

V A = V B = 14,93   k N

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