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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Estática- Ed: 9º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 48

48. A tampa A B C D de uma caixa de engrenagem de 0,61   m × 1,0   m , é articulada ao longo do lado A B e mantida aberta com uma corda   D E C lançada sem atrito a um gancho em E . Sabendo-se que a tração na corda é 66   N , determine o momento em relação a cada um dos eixos de coordenadas da força exercida pelo corda em C .

Passo 1

Bom! Para fazer o nosso cálculo, nos precisamos da distância C E ; não é mesmo? Mas repara que aquele ponto C não está exatamente posicionado numa linha horizontal e paralela ao eixo z . Ele está um pouco inclinado pra cima. Ou seja, o que se quis dizer com todo essa lenga-lenga é que precisamos calcular a coordenada em z do ponto C . A figura abaixo demonstra isso:

Só que pra nossa sorte, precisamos apenas usar Pitágoras para calcular nossa coodernada z :

z 2 + ( 0,11   m ) 2 = ( 0,61   m ) 2

z = ( 0,61   m ) 2 - ( 0,11   m ) 2

z = 0,6   m

E para calcular a distância C E basta calcular a raiz quadrada abaixo:

D E = ( z E - z C ) 2 + ( y E - y C ) 2 + ( x E - x C ) 2

Onde para o ponto E temos que:

  x E = 0,3   m                     y E = 0,71   m               z E = 0 ,   00   m              

E para o ponto D temos:

  x C = 1,00   m                         y C = 0,11   m                         z C = 0 ,   60   m                        

Obtidas as nossas coordenadas; façamos o cálculo:

C E = ( z E - z C ) 2 + ( y E - y C ) 2 + ( x E - x C ) 2

C E = ( 0,00   m - 0,60   m ) 2 + ( 0,71   m - 0,11   m ) 2 + ( 0,30   m - 1,00   m ) 2

C E = 1,21   m 2

C E = 1,1   m

Passo 2

Achada a nossa distância C E vamos obter o quanto vale a força de tração T → C E em termos dos vetores unitários i ^ , j ^   e k ^ . Para fazer isso basta multiplicar a força pela distância C E → vetorial e dividir tudo pelo módulo de C E , que já encontramos no P a s s o   1 :

C E → = ( x E - x C ) i ^ + y E - y C j ^ + ( z E - z C )   k ^

C E → = - 0,70   m i ^ + 0,60   m j ^ - ( 0,60   m )   k ^

E como temos que D E = 0,9   m ; basta fazer o seguinte cálculo agora:

T → D E = T D E ⋅ C E → C E

T → D E = ( 66   N ) ⋅ - 0,70   m i ^ + 0,60   m j ^ - ( 0,60   m )   k ^ 1,1   m

T → D E = - 42   N i ^ + 36   N j ^ - ( 36   N )   k ^

Passo 3

A questão nos pede para determinar o momento M → A em relação a cada um dos eixos de coordenadas da força exercida pelo corda em C . Ora bolas; já temos a nossa força de tração T → C E !!! O que precisamos mais??

Bom! Só falta agora, o vetor posição que parte da origem A até a linha de ação da força em C . Essa belezinha é o vetor A E → ; que podemos calcular apenas determinando as coordenadas do ponto E ; já que A é o ponto origem do nosso referencial. Bora por a mão na massa:

A E → = ( x E ) i ^ + y E j ^ + ( z E )   k ^

A E → = ( 0,30   m ) i ^ + 0,71   m j ^ + ( 0,00   m )   k ^

Como temos tudo que precisamos; só nos resta aplicar a definição de momento:

M → A = r → E / A × T → C E

Onde temos que:

r → E / A = A E → = ( 0,30   m ) i ^ + 0,71   m j ^ + ( 0,00   m )   k ^

T → C E = - 42   N i ^ + 36   N j ^ - ( 36   N )   k ^

Vamos então, fazer o produto vetorial acima usando o determinante matricial:

M → A = det ⁡ i ^ j ^ k ^ x E y E z E T C E , x T C E , y T C E , z

M → A = det ⁡ i ^ j ^ k ^ 0,30 0,71 0,00 - 42 36 - 36

M → A = ⁡ i ^ j ^ k ^ 0,30 0,71 0,00 - 42 36 - 36       i ^ j ^ 0,30 0,71 - 42 36  

M → A = - 25,56 i ^ + 29,82 k ^ + 10,8 k ^ + 10,8 j ^   N ⋅ m

M → A = - 25,56 i ^ + 10,8 j ^ + 40,62 k ^   N ⋅ m

Esse é o nosso momento resultante!!! Para obter os momentos em cada eixo; basta associar cada componente de momento com seu versor ao respectivo eixo coordenado; ( i ^ ) para o eixo x ; ( j ^ ) para o eixo y e ( k ^ ) para o eixo z :

M x = - 25,56   N ⋅ m

M y = 10,80   N ⋅ m

M z = 40,62   N ⋅ m

Resposta

M x = - 25,56   N ⋅ m

M y = 10,80   N ⋅ m

M z = 40,62   N ⋅ m

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42. Determine o momento resultante produzido pelas forças F B → e F C → em relação ao ponto O. Expresse o resultado como um vetor cartesiano.