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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 57a

Um tubo de aço e um de alumínio são firmemente unidos para formar a viga composta mostrada. Os módulos de elasticidade valem 200   G P a para o aço e 70   G P a para o alumínio. Para um momento fletor de 1,5   k N m , determine a máxima tensão:

  1. No alumínio

Passo 1

Quando temos mais de um material na nossa barra precisamos converter todos ela para um deles para facilitar o nosso cálculo.

Sabemos que o nosso fator a ser calculado é dado por:

n = E p a r t e   t r a n s f o r m a d a   E p a r t e   i n t a c t a  

Vamos então fazer o seguinte, vamos manter como intacto o Aço, e vamos transformar em aço o alumínio, sendo assim vamos ter o seguinte fator de transformação, sendo assim teremos que:

n a l u m í n i o = E a l u m í n i o   E a ç o   = 70 2 0 0 = 0,350

Agora precisamos modificar a largura das chapas de alumínio, e como elas foram as transformadas, então o aço vai se manter, e o alumínio vai ser modificado:

b ' = n b

b ' a l u m í n i o - a ç o = n a l u m i n i o b a l u m i n i o = 0 , 350   .   2,50 = 0,875   m m

Sendo assim a nova seção é dada por:

Como agora temos todos os elementos do mesmo material, podemos considerar que a espessura de aço vai ser a soma dos outros dois, sendo assim teremos que:

e = 6,35 + 0,875 = 7,225   m m

Nosso objetivo é determinar as tensões, e a fórmula que calcula a tensão na estrutura intacta, é dada por:

σ x = - M y I   ( i n t e r v a l o   18,65 - 25 )

E a fórmula para calcular as tensões nas barras que foram transformadas é dada por:

σ x = - n M y I   ( i n t e r v a l o   25 - 25,875 )

Ou seja, temos que tomar cuidado de usarmos o coeficiente de transformação correto, na barra correta.

Agora já podemos determinar o momento de inércia e o y da nossa fórmula.

Passo 2

Como já temos a LN, podemos determinar o momento de inércia, e com isso vamos seguir o seguinte passo a passo.

  • I

    Para ele precisamos fazer a seguinte relação.

    • Numeração das regiões

      • Olha como esse macetinhos nos ajuda bastante.

      Lembrar que o 1 é o momento de inércia positiva, e o momento de inercia 2 é negativo.

    • Momento de inércia de cada região

    • Agora para determinarmos o momento de inércia, precisamos fazer a seguinte conta:

    I = ∑ I i + A i d i 2

    Sendo assim teremos que:

    I = I 1 - I 2

    I = 352056 - 95018

    I = 257038   m m 4

    Agora só precisamos determinar os valores de y, sendo assim teremos que ver o próximo passo.

    Passo 3

    Pelo enunciado, o nosso objetivo é determinar a máxima tensão no alumínio, que é externo ao tubo, logo, precisamos determinar y apenas do alumínio, e lembrando que ele é a parcela transformada, ou seja, possui fator de transformação multiplicando a tensão, sendo assim teremos que:

  • y - positivo e negativo

Calculando primeiro o latão:

M = 1,5   k N m = 1500000   N m m

y - - = - 2 5,875 m m

I = 257038     m m 4

n a l u m í n i o = E a l u m í n i o   E a ç o   = 70 200 = 0,350

σ x = - n M y I

Substituindo, teremos que:

σ max ⁡ - a l u m í n i o = - 0,35 1500000   N m m .   - 25,875 m m 257038   m m 4 = 52,85   M P a

Resposta

σ max ⁡ - a l u m í n i o = 52,85   M P a

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