Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Mecânica dos Materiais- Ed: 7º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 109
(a) Usando funções de singularidade, escreva as equações para a força cortante e o momento fletor para a viga e o carregamento mostrados. (b) Determine o valor máximo do momento fletor na viga.
Passo 1
Beleza! A primeira coisa que vamos fazer é desenhar o diagrama de corpo livre para a viga, dessa forma, o DCL será:
Com o DCL acima, podemos aplicar o somatório de momentos em relação ao ponto B e com isso encontrar a reação no ponto A. Então teremos:
Opa! Agora, como temos um carregamento distribuído, devemos lembrar que nesse caso, prolongamos o carregamento dado até o final da viga e colocamos um carregamento de mesma intensidade, mas sentido oposto, na porção onde não tínhamos carregamento no sistema original, e até o final da viga também. Ou seja, o carregamento equivalente ficará assim:
Com essa adição, as forças fornecidas no enunciado e a reação encontrada em A, podemos escrever a equação para a força cortante, lembrando que o carregamento possui ordem 1 na equação da força cortante. Sendo assim, a equação para a força cortante será:
Passo 2
Agora, para encontrarmos a equação do momento fletor, como já temos a equação para a força cortante, basta lembrar que a derivada do momento equivale a força cortante, ou seja:
Isolando as variáveis dessa equação, temos:
Integrando essa expressão dos dois lados, teremos:
Agora, substituindo a expressão encontrada para no passo 1, a equação acima se torna:
Resolvendo a integral, teremos:
Em que é a constante de integração. Nesse caso, a constante de integração corresponde aos momentos localizados que são aplicados ao sistema, no nosso, como não temos nenhum momento localizado, então teremos:
Então a equação do momento será:
Passo 3
Agora para a letra (b), precisamos encontrar o valor do momento máximo. Sabemos que temos um valor máximo ou mínimo para uma função quando sua derivada é zero, ou seja, quando há um ponto de inflexão na curva primária. Então, vamos calcular a força cortante nos 5 pontos da viga, já que ela corresponde a derivada da equação momento, e observar onde há troca de sinal da função. Começando pelo ponto A em , temos:
Agora para o ponto B em , teremos:
Agora para o ponto D em temos que calcular o valor se aproximando pela esquerda e depois pela direita, parecido com o que fazemos com os limites lá em cálculo. Precisamos fazer isso devido a força localizada de 35,6 kN. Então começando a análise se aproximando por D pela esquerda, temos:
Observe que nesse caso, a força de 35,6 kN não contribui para a força cortante da viga. Agora, calculando a força cortante pela direita, ela vai aparecer, vamos ver?
Opa! Observe que houve mudança de sinal no valor da força cortante, então o ponto D é um candidato de momento máximo. Vamos calcular para o ponto E e B para ver se há mais alguma mudança de sinal. Então para E em temos:
E, agora para o ponto B em teremos:
Passo 4
Legal! Como vimos que o sinal da força cortante mudou só uma vez, e no ponto D em , nosso momento máximo estará nesse local. Dessa forma, usando a equação do momento lá do passo 2 e calculando em teremos: