Enunciado

Uma vez que o eixo vazado de aço mostrado gira a 180   r p m , uma luz estroboscópica para medições indica que o ângulo de torção do eixo é 3 ° . Sabendo-se que G = 77   G P a , determinar: (a) a potência que está sendo transmitida; (b) a máxima tensão de cisalhamento no eixo.

Passo 1

a) Queremos a potência que está sendo transmitida nessa situação. Temos esses dados:

- velocidade de rotação: 180   r p m

- ângulo de torção ϕ = 3 ° = 0,05236   r a d

- G = 77   G P a = 77 ⋅ 10 9   P a

- raio interno: c 1 = 12,5   m m = 0,0125   m

- raio externo: c 2 = 30   m m = 0,03   m

- comprimento do eixo: L = 5   m

Vem comigo!

Passo 2

Vamos começar arrumando a unidade dos nossos dados. Para transformar a velocidade em r p m para a frequência f em H z , usamos a relação:

1   r p m = 1 60   H z

Logo,

180   r p m = 3   H z

Passo 3

A gente consegue escrever o ângulo produzido por um torque pela expressão:

ϕ = T L J G ∴ T = ϕ J G L

E conseguimos escrever a potência produzida por um torque T e uma frequência f pela expressão:

P = 2 T π f

Substituindo uma expressão na outra:

P = 2 ϕ J G L π f

Passo 4

Para um eixo vazado, temos que:

J = π 2 c 2 4 - c 1 4

Substituindo isso na nossa expressão para a potência:

P = 2 ϕ π 2 c 2 4 - c 1 4 G π f L = ϕ c 2 4 - c 1 4 G π 2 f L

Agora a gente consegue substituir os dados do nosso problema:

P = 0,05236 ⋅ 0,03 4 - 0,0125 4 ⋅ 77 ⋅ 10 9 ⋅ π 2 ⋅ 3 5

P = 18   755,78   W = 18,76   k W

Passo 5

b) Agora a gente quer achar a tensão máxima para um tubo. Para isso usamos:

J c 2 = T τ m á x ∴ τ m á x = T c 2 J

Vamos lembrar que:

T = ϕ J G L

Substituindo isso na expressão da tensão máxima:

τ m á x = ϕ J G L c 2 J = ϕ G c 2 L

Substituindo os dados do problema:

τ m á x = 0,05236 ⋅ 77 ⋅ 10 9 ⋅ 0,03 5 = 24,2   M P a

Resposta

(a)   P = 18,76   k W

(b) τ m á x = 24,2   M P a

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