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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 132

Um tubo de parede fina foi fabricado pelo encurvamento de uma placa de metal, espessura t, onde suas bordas foram unidas de tal modo que tomasse a forma de um cilindro de raio c. Um torque T é então aplicado ao tubo, produzindo uma tensão de cisalhamento τ 1 e um ângulo de torção ϕ 1 . Chamando de τ 2 e ϕ 2 ,   respectivamente, a tensão de cisalhamento e o ângulo de torção, que irá se desenvolver se a união subitamente vier a falhas, determine a relação τ 2 / τ 1 e ϕ 2 / ϕ 1 , em termos de c / t

Passo 1

Basicamente estamos trabalhando com duas situações diferentes.

Na primeira situação, temos um Eixo Vazado de Paredes Finas, e nesse caso usamos as equações:

Na segunda situação, quando a união falha, temos um eixo não circular! E nesse caso as equações serão:

Passo 2

Começamos pela primeira situação!

Logo de cara dá para a gente calcular a área média interna a e dá para calcular o perímetro médio. Lembre-se que o perímetro médio é igual a integral de linha ∮ d s

E com isso dá para a gente calcular a tensão

τ 1 = T 2 t a ⇒ τ 1 = T 2 ⋅ t ⋅ π c 2

E o ângulo de torção:

ϕ 1 = T L 4 a 2 G ∮ d s t = T L 4 ⋅ π 2 c 4 G ⋅ 2 π c t ⇒ ϕ 1 = T L 2 ⋅ π c 3 G t

Passo 3

Beleza!

Agora vamos calcular a segunda situação. Como esta é uma situação de paredes finas, então podemos considerar a última linha da Tabela de Coeficientes para a torção em barras retangulares:

E agora vamos calcular a tensão

τ 2 = T c 1 a b 2 = T 0,333 ⋅ 2 π c ⋅ t 2 ⇒ τ 2 ≈ 3 T 2 π c t 2

E o ângulo de torção:

ϕ 2 = T L c 2 a b 3 G = T L 0,333 ⋅ 2 π c ⋅ t 3 ⋅ G ⇒ ϕ 2 ≈ 3 T L 2 π c t 3 G

Passo 4

Pronto, está praticamente tudo resolvido, agora só precisamos calcular as relações que a questão pede:

Primeiro τ 2 / τ 1 :

τ 2 τ 1 = 3 T 2 π c t 2 T 2 ⋅ t ⋅ π c 2 = 3 T ⋅ 2 t π c 2 2 π c t 2 ⋅ T ⇒ τ 2 τ 1 = 3 c t

E agora ϕ 2 / ϕ 1 :

ϕ 2 ϕ 1 = 3 T L 2 π c t 3 G T L 2 ⋅ π c 3 G t = 3 T L ⋅ 2 π c 3 G t 2 π c t 3 G ⋅ T L ⇒ ϕ 2 ϕ 1 = 3 c 2 t 2

Resposta

τ 2 τ 1 = 3 c t

ϕ 2 ϕ 1 = 3 c 2 t 2

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