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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Mecânica dos Materiais- Ed: 7º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 104

Para a viga em balanço e o carregamento mostrados na figura, determine (a) a inclinação e (b) a deflexão no ponto A. Use E = 200 GPa.

Passo 1

Opaa! Fala pessoal, beleza? Bora pra mais um?! Para resolver esse exercício, vamos utilizar o método do momento de área. Para isso vamos precisar desenhar o diagrama M/EI para a viga. Depois disso, sabemos que a área entre dois pontos sob a curva M/EI representa a inclinação entre esses dois pontos. E para obter a deflexão, vamos utilizar o teorema do segundo momento de área, que nos fornece o desvio tangencial entre dois pontos. Sabendo disso, temos tudo o que precisamos para resolver o exercício, então bora lá!

Passo 2

Tá legal! Vamos começar esse exercício separando o carregamento em duas partes, uma com o carregamento distribuído e outra com a força localizada, então teremos:

Esse será nosso diagrama 1. Agora para o segundo caso, temos:

Esse será o nosso diagrama 2.

Passo 3

Agora, sabemos que para o primeiro caso, teremos um momento linear começando em 0 no ponto A e indo até o máximo de M = 5 x , então o momento máximo no ponto C será:

M = 5 3,5 → M = 17,5   k N . m

Então, nosso diagrama M / E I para o primeiro DCL será:

Agora, para o segundo caso, também teremos um momento parabólico, só que começando em 0 do ponto B e indo até o máximo de M = 4 x 2 / 2 , então o momento máximo no ponto A será:

M = 4 2,5 2 2 → M = 12,5   k N . m

Então, nosso diagrama M / E I para o segundo DCL será:

Passo 4

Beleza! Agora vamos calcular o termo E I , pois vamos precisar dele. Para isso, vamos precisar pesquisar na internet o momento de inércia da viga dada, então vamos lá pro apêndice C pegar essa informação, então, pro nosso perfil, teremos:

I = 28,7.10 6   m m 4 = 28,7.10 - 6   m 4

Então, nossa parcela E I será:

E I = 200.10 9 28,7.10 - 6 → E I = 5,74.10 6   N . m 2 = 5740   k N . m 2

Agora nós vamos calcular a área sob as curvas e a localização do centroide dessas áreas. Começando pela área 1, teremos:

A 1 = b h 2 = 3,5 - 17,5 5740 2 → A 1 = - 5,335.10 - 3

E o seu centroide, contabilizando a partir do ponto C, será:

x - 1 = 1 3 3,5 → x - 1 = 1,167   m

Agora, para a área 2, com o auxílio da Fig. 9.31 vista nessa seção, temos:

A 2 = b h 3 = 2,5 - 12,5 5740 3 → A 2 = - 1,815 . 10 - 3

x - 2 = b 4 = 2,5 4 → x - 2 = 0,625   m

Passo 5

Tá legal! Agora podemos calcular a inclinação no ponto A, sabendo que a inclinação entre dois pontos é representada pela área sob a curva do diagrama M / E I , então a inclinação do ponto A será:

θ A / C = θ A - θ C = A 1 + A 2

Substituindo os valores encontrados para as áreas, teremos:

θ A - 0 = - 5,335 . 10 - 3 - 1,815 . 10 - 3 → θ A = - 7,15 . 10 - 3   r a d

Passo 6

Beleeeza! Agora, sabemos que a deflexão entre dois pontos será dada através do teorema do segundo momento de área, que é dado por:

t A / C = A A C x -

Em que A A C é a área embaixo da curva M / E I e x - é a distância do centroide da área até o eixo vertical que passa pelo ponto de interesse, que no nosso caso é o ponto A. Então, utilizando as áreas que temos no nosso diagrama M / E I , teremos:

t A - t C = A 1 x - 1 + A 2 x - 2

t A - 0 = - 5,335 . 10 - 3 3,5 - 1,167 + - 1,815 . 10 - 3 3,5 - 0,625

t A = - 17,66 . 10 - 3   m

Shooow!! Terminamos mais um, valeeu!

Resposta

a : θ A = - 7,15.10 - 3   r a d

b :   t A = - 17,66.10 - 3   m

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Para a viga e o carregamento do P r o b . 9.5 3 , determinar a maior deflexão, para cima, no vão DE.Primeiro determinar a inclinação do ponto D para a Viga e carregamento do P r o b . 9.5 3 .
Para a viga e o carregamento do P r o b . 9 . 50 , determinar a maior deflexão, para cima, no vão EB.A intensidade do máximo para a Viga e carregamento do P r o b . 9 . 50 .
Para a viga e o carregamento do P r o b . 9 . 50 , determinar a maior deflexão, para cima, no vão EB.Segundo a localização do ponto que ocorre o máximo para a Viga e carregamento do P r o b . 9 . 50 .
Para a viga e o carregamento do P r o b . 9 . 50 , determinar a maior deflexão, para cima, no vão EB.Primeiro determinar a inclinação do ponto E para a Viga e carregamento do P r o b . 9 . 50 .
Para a viga e o carregamento do P r o b . 9 . 52 , determinar a maior deflexão, para baixo, no vão AD.Primeiro determinar a inclinação do ponto A para a Viga e carregamento do P r o b . 9 . 52 .