Enunciado

Para a viga com o carregamento do P r o b . 9.28 , determinar:

  1. A carga P para que a deflexão seja zero no ponto médio C da viga.
  2. A correspondente deflexão na extremidade A.

Usar E = 200 G P a .

Passo 1

E ai galera, até agora resolvemos apenas problemas com engastes, mas agora iremos começar a resolver problemas biapoiados, os conceitos vão se manter iguais aos que já conhecíamos, mas agora vamos ter que tomar um cuidado importante com o nosso diagrama de momentos fletores, então é de suma importância que fiquemos atento a ele, e por isso, vamos começar por ele, calculando primeiro a reação de apoio da nossa viga, teremos que:

∑ M E = 0

- 4,8 V D + P × 2,4 + 40 × 1,6 × 5,6 - 40 × 1,6 × 0,8 = 0

V D = 0,5 P + 64

E por fim tem uma coisa bem legal de se notar, a nossa viga é simétrica com cargas simétricas, certo? Então não precisamos desenhar o diagrama inteiro da viga, podemos desenhar só metade do nosso diagrama, e analisando o que temos até aqui, vamos ver que é exatamente isso aqui:

Assim o nosso diagrama de momentos fletores calculando um diagrama para cada carregamento será dado por:

Porém, nesse caos em balanço iremos desconsiderar o carregamento em balanço na viga que só tem a reação de apoio, com isso, precisamso fazer ( 0,5 P + 64 ) - 40 × 1,6 = 0,5 P , assim a nossa viga com seus respectivos diagramas, será dada por:

E por fim, temos que dividir o nosso diagrama pelo nosso E I , assim, teremos que:

Passo 2

Agora precisamos determinar a deformação em dois pontos, um sendo a deformação no centro da nossa viga, e essa deformação já conhecemos a maneira de calcular ela, basta pegarmos as áreas entre o apoio e o centro e multiplicarmos a distância do centroide de cada área até o apoio, respeitando, é claro, os sinais que vimos no passo anterior, ou seja, estamos fazendo a deformação de B com relação a C, certo? Então podemos definir y B / C . Dessa maneira, teremos que:

Perceba que somente as áreas 1 e 3 contribuem, dessa maneira, teremos que:

y B / C = y B - y C

Como B é o apoio, temos que:

y B / C = - y C = - y 1 A 1 + y 2 A 2

y B / C = - y C = - 1,6 1,44 P E I + 1,2 122,88 E I

E sabemos pelo enunciado que queremos que a deformação do ponto C seja zero, assim temos que:

- 1,6 1,44 P E I + 1,2 122,88 E I = 0

2,304 P = 147,456

P = 64   k N

Agora queremos a deformação na extremidade também, certo? E como calcular ela? O principio é muito parecido, porém aqui temos que a deformação é zero no ponto B e a de A é o que precisamos descobrir, porém, usaremos um novo conceito que é o seguinte:

y A / C = y A - y B / C

E olha que interessante, o que estamos definindo aqui é que a deformação relativa total entre o ponto A que sobe e o ponto C que desce, é igual o total que A deforma menos o que C deforma com relação ao apoio, certo? E faz todo sentido, já que a deformação entre a extremidade e o meio soma as duas deformações, se eu souber quanto o meio deforma com relação ao apoio, eu consigo achar quanto a extremidade também deforma, e assim tudo fica na mais perfeita tranquilidade, certo?

Beleza, mas como determinar y A / C ? Da mesma maneira que determinamos y B / C = 0 , mas ao invés de determinarmos o centroide com relação ao apoio, determinaremos com relação a extremidade, e assim usaremos as 3 áreas e teremos que:

y A / C = - y 1 A 1 + y 2 A 2 + y 3 A 3

y A / C = - 3,2 1,44 P E I + 1,2 27,31 E I + 2,8 122,88 E I

y A / C = - 3,2 1,44 × 64 E I + 1,2 27,31 E I + 2,8 122,88 E I

y A / C = 81,924 E I

Pelo enunciado temos que:

E = 2 × 10 8   k N / m 2

E o momento de inércia da viga W 360 x 64 é dado por:

I = 178,1 × 10 6 m m 4 = 1,781 × 10 - 4   m 4

Assim teremos que:

E I = 2 × 10 8 × 1,781 × 10 - 4 = 35620

Substituindo, teremos que:

y A / C = 81,924 35620 = 2,30 × 10 - 3 m

Sabemos que a equação é dada por:

y A / C = y A - y B / C

2,30 × 10 - 3 = y A - 0

y A = 2,30 × 10 - 3 m

y A = 2,30   m m

Resposta

  1. P = 64   k N
  2. y A = 2,30   m m
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