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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 8.Problemas - Ex. 75

Para a viga com o carregamento mostrado, determinar (a) a equação da linha elástica; (b) a deflexão no ponto C ; (c) a deflexão no ponto D .

Passo 1

Fala aí galera. Bora pra outra questão. Primeiramente, vamos determinar as reações. Sabemos que:

∑ M A = 0 → L 4 × w L 2 + 3 L 2 × w L 4 = F C L

F C = w L 8 + 3 w L 8 = w L 2

F A = w L 4 + w L 2 - F C = 3 w L 4 - w L 2 = w L 4

Logo, a equação do momento em função de x será:

M x = F A x - w x × x 2 + w 2 < x - L 2 > 2 + F C < x - L >

M x = w L 4 x - w x 2 2 + w 2 < x - L 2 > 2 + w L 2 < x - L >

Portanto, a equação da linha elástica é dada por:

d y 2 d 2 x = M x E I

d y 2 d 2 x = w L 4 x - w x 2 2 + w 2 < x - L 2 > 2 + w L 2 < x - L > E I

Passo 2

Agora, vamos integrar a equação acima uma vez em relação a x para acharmos declividade. Logo:

E I   θ = w L x ² 8 - w x 3 6 + w 6 < x - L 2 > 3 + w L 4 < x - L > ² + C 1

Para determinar C 1 ,   vamos usar as condições de contorno. Sabemos que:

θ 0 = - θ ( L )

Logo:

θ 0 = C 1

θ L = w L ³ 8 - w L 3 6 + w 6 L 2 3 + C 1 = w L 3 12 + C 1

C 1 = - w L 3 12 - C 1

C 1 = - w L 3 24

Portanto:

E I   θ = w L x ² 8 - w x 3 6 + w 6 < x - L 2 > 3 + w L 4 < x - L > ² - w L 3 24

Iremos integrar a equação novamente em relação a x   para encontramos a deflexão. Ou seja:

E I   y = w L x ³ 24 - w x 4 24 + w 24 < x - L 2 > 4 + w L 12 < x - L > ³ - w L 3 24 x + C 2

Do mesmo modo, sabemos que:

y 0 = 0

C 2 = 0

Logo:

E I   y = w L x ³ 24 - w x 4 24 + w 24 < x - L 2 > 4 + w L 12 < x - L > ³ - w L 3 24 x

Passo 3

Agora, basta calcular os itens pedidos. Para a letra b:

E I   y L = w L 4 24 - w L 4 24 + w 24 L 2 4 - w L 3 24 L = w L 4 384 - w L 4 24 = - 15 w L 4 384

y L = - 15 w L 4 384 E I

Para a letra c:

w L x ³ 24 - w x 4 24 + w 24 < x - L 2 > 4 + w L 12 < x - L > ³ - w L 3 24 x

E I   y 3 L 2 = 27 w L 4 96 - 81 w L 4 384 + w L 4 24 + w L 4 96 - w L 4 24

E I   y 3 L 2 = 27 w L 4 96 - 81 w L 4 384 + w L 4 96 = 28 w L 4 96 - 81 w L 4 384 = 31 w L 4 384

y 3 L 2 = 31 w L 4 384 E I

Resposta

  1. d y 2 d 2 x = w L 4 x - w x 2 2 + w 2 < x - L 2 > 2 + w L 2 < x - L > E I
  2. y L = - 15 w L 4 384 E I
  3. y 3 L 2 = 31 w L 4 384 E I
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Para a viga e o carregamento mostrados nas figuras, determine (a) a inclinação na extremidade A, (b) a deflexão no ponto B e (c) a deflexão na extremidade D.
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