Enunciado

Para a viga e o carregamento indicados, determine o valor e localização da maior deflexão para baixo. Viga e carregamento do Problema 9.45.

Passo 1

Opaa! Fala pessoal, beleza? Bora pra mais um?! Para resolver esse exercício, vamos utilizar a equação que governa a linha elástica, dada por:

E I . d 2 y d x 2 = M

Então, nós precisamos da equação para o momento da viga, vamos determinar essa equação com o auxílio das funções de singularidade vistas nesse capítulo, depois disso conseguimos integrar a expressão acima para obter a equação para a inclinação. Integrando novamente conseguimos obter a equação para a deflexão, aí teremos tudo que precisamos para calcular o valor e a localização da maior deflexão para baixo. Então bora lá!

Passo 2

Beleza! Vamos começar desenhando o DCL para o sistema, onde teremos:

Beleza! Vamos aplicar o somatório de momento em relação ao ponto D para descobrir o valor da reação no ponto A, então teremos:

+ ↻ ∑ M D = 0

A y 2 - 4 1,5 - 5 1 0,5 = 0 → A y = 4,25   k N

Agora vamos aproveitar e calcular o momento de inércia para a seção da viga. Como temos uma seção retangular, o momento de inércia será:

I = b h 3 12 = 0,05 0,15 3 12 → I = 14,0625.10 - 6   m 4

Agora, sabendo que a derivada da equação de cisalhamento corresponde ao oposto do carregamento, podemos escrever:

d V d x = - w = - 5 < x - 1 > 0

d V d x = - 5 < x - 1 > 0

Passo 3

Agora, integrando essa expressão, teremos:

V = - 5 < x - 1 > 1 + C

Nesse caso, a constante C corresponde as forças localizadas aplicadas no sistema, como tomamos como referência do nosso sistema de coordenadas o ponto A, teremos a reação A y e P , então nossa constante será:

C = A y + P < x - 0,5 > 0 = 4,25 - 4 < x - 0,5 > 0

Então a equação para o cisalhamento se torna:

V = - 5 < x - 1 > 1 + 4,25 - 4 < x - 0,5 > 0

Agora, nós sabemos também que a derivada da equação momento corresponde ao cisalhamento, ou seja:

d M d x = V

Então, substituindo a expressão encontrada para o cisalhamento nessa equação, temos:

d M d x = - 5 < x - 1 > 1 + 4,25 - 4 < x - 0,5 > 0

Integrando essa expressão, teremos:

M = - 2,5 < x - 1 > 2 + 4,25 x - 4 < x - 0,5 > 1 + C

Nesse caso, a constante C representa os momentos localizados aplicados no sistema, no nosso caso não temos nenhum, então teremos:

C = 0

Então nossa equação para o momento será:

M = - 2,5 < x - 1 > 2 + 4,25 x - 4 < x - 0,5 > 1

Passo 4

Agora nós podemos utilizar a equação que governa o regime elástico descrita lá no passo 1 e substituir a equação obtida para o momento, então teremos:

E I . d 2 y d x 2 = - 2,5 < x - 1 > 2 + 4,25 x - 4 < x - 0,5 > 1

Agora vamos integrar essa expressão, chegando em:

E I . d y d x = - 2,5 3 < x - 1 > 3 + 4,25 x 2 2 - 2 < x - 0,5 > 2 + C 1

Agora nós vamos integrar a equação novamente para obter a equação da deflexão, então teremos:

E I . y = - 2,5 12 < x - 1 > 4 + 4,25 x 3 6 - 2 3 < x - 0,5 > 3 + C 1 x + C 2

Passo 5

Beleza! Agora, para encontrar o valor das constantes C 1 e C 2 , nós vamos usar as condições de contorno que temos nos apoios, onde sabemos que não há deflexão, ou seja:

x = 0 → y = 0

x = 2 m → y = 0

Substituindo a primeira condição na equação para a deflexão encontrada no passo 4, teremos:

E I . 0 = - 2,5 12 < 0 - 1 > 4 + 4,25 ( 0 ) 3 6 - 2 3 < 0 - 0,5 > 3 + C 1 0 + C 2

C 2 = 0

Agora, vamos utilizar a segunda condição de contorno para obter o valor de C 1 , então teremos:

E I . 0 = - 2,5 12 < 2 - 1 > 4 + 4,25 ( 2 ) 3 6 - 2 3 < 2 - 0,5 > 3 + C 1 ( 2 )

0 = - 2,5 12 + 34 6 - 2 3 3,375 + 2 C 1 → C 1 = - 1,604   k N . m 2

Então, a nossa equação para a linha elástica será:

E I . y = - 2,5 12 < x - 1 > 4 + 4,25 x 3 6 - 2 3 < x - 0,5 > 3 + C 1 x + C 2

y = 1 E I - 2,5 12 < x - 1 > 4 + 4,25 x 3 6 - 2 3 < x - 0,5 > 3 - 1,604.10 3 x

E a equação para a inclinação será:

E I . d y d x = - 2,5 3 < x - 1 > 3 + 4,25 x 2 2 - 2 < x - 0,5 > 2 + C 1

d y d x = 1 E I - 2,5 3 < x - 1 > 3 + 4,25 x 2 2 - 2 < x - 0,5 > 2 - 1,604.10 3

Passo 6

Agora nós vamos calcular a inclinação no ponto médio C da viga, para descobrir seu sinal. Então utilizando a equação obtida no passo 5, teremos:

d y d x = 1 E I - 2,5 3 < 1 - 1 > 3 + 4,25 1 2 2 - 2 < 1 - 0 , 5 > 2 - 1,604.10 3

d y d x = 1 12.10 9 14,0625.10 - 6 0 + 4,25 2 . 10 3 - 0,5.10 3 - 1,604.10 3 → d y d x = 124,44 . 10 6

Opa, a inclinação nesse ponto é positiva, isso quer dizer que a maior deflexão para baixo está localizada na porção BC da viga. Nessa seção, a equação da inclinação e da deflexão se tornam:

d y d x = 1 E I 4,25 x 2 2 - 2 < x - 0,5 > 2 - 1,604.10 3

y = 1 E I 4,25 x 3 6 - 2 3 < x - 0,5 > 3 - 1,604.10 3 x

Então, para descobrir a localização da maior deflexão, vamos igualar a equação da inclinação a zero, de onde teremos:

0 = 1 E I 4,25 x 2 2 - 2 x - 0,5 2 - 1,604 → 2,125 x 2 - 2 x 2 - x + 0,25 - 1,604 = 0

0,125 x 2 + 2 x - 2,104 = 0

Agora, resolvendo essa equação por Bháskara, que é dada por:

x = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

Substituindo os coeficientes da nossa equação, teremos:

x = - 2 ± 2 2 - 4 0,125 - 2,104 2 0,125 → x 1 = 0,9907   m ; x 2 = - 16,99   m

Podemos ver que o único valor possível que está no intervalo de análise é:

x = 0,9907   m

Passo 7

Então agora nós vamos substituir a localização que encontramos no passo 6 na equação para a deflexão no nosso trecho BC, então teremos:

y = 1 12.10 9 14,0625.10 - 6 4,25 0,9907 3 6 . 10 3 - 2 3 . 10 3 < 0,9907 - 0,5 > 3 - 1,604.10 3 ( 0,9907 )

y = 1 168,75.10 3 688,75 - 78,769 - 1589,08

y = - 5,8.10 - 3   m

Prooonto! Terminamos mais um, valeeu!

Resposta

x = 0,9907   m

y = - 5,8.10 - 3   m

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