Enunciado

Para a viga com carregamento mostrado, determinar a reação em cada um dos apoios.

Obs: determinação do ângulo em A para o caso 1

Passo 1

Então pessoal, diferente do que tivemos até aqui, essa viga vai seguir o mesmo padrão de tudo que vimos, porém vamos ter que fazer um passozinho amais, mas nada muito complicado. Pensa que antes sabiamos que onde tinha engaste o ângulo era igual a zero. Aqui o principio é o mesmo, mas ao invemso de olharmos onde o ângulo é zero, vamos olhar onde a deformação é zero, por isso vamos ter um passo amais, que é o cálculo da deformação. Mas lembra que antes de sairmos fazendo cálculo, vamos dividir a nossa viga em vigas isostáticas, e para isso, eu vou trocar o apoio central por uma carga que queremos detemrinar, assim vamso ter que:

Agora lembre-se do seguinte, sabemos que na verdade em C temos um apoio, certo? Logo sabemos que a deformação lá é zero. Porém podemos ver que nas vigas isostáticas 1 e 2 teremos deformações formadas diferentes de zero em C, o que isso significa? Que se somarmos as deformações que temos na viga 1 com o que temos na viga 2, temos que ter zero como somatório deles, e daí conseguimos tirar o nosso P 0 , e a partir deles podemos determinar a nossa reação nos apoios, beleza? Então vamos lá.

Passo 2

Vale lembrar que dividimos o problema em 4 partes, nessa primeira parte determinamos as duas vigas e o ângulo da viga 1, e na parte 2, ou b, vamos determinar a deformação da viga 1, na parte 3 determinamos o ângulo em A também mas para a viga 2, e na última parte determinamos a deformação da viga 2 e as suas reações? Então vamos lá. Como a nossa viga 1 é isostática, podemos determinar as suas reações de apoio.

∑ M B = 0

- V A 2 L + w L L 2 = 0

- V A 2 L + w L 2 2 = 0

V A = w L 4

∑ F V = 0

w L 4 + V B - w L = 0

V B = 3 w L 4

Agora perceba o seguinte, suponha que ao invés de termos os apoios em A e B, vamos supor que eles são cargas aplicadas na nossa viga, e que no caso no ponto B temos um engaste, então basta desenharmos o diagrama de cada carga com relação ao ponto B, assim, teremos que:

E sabemos que devemos dividir o nosso diagrama por E I , referente a cada uma das barras, e assim teremos que:

Passo 3

Agora, pensa no seguinte, como eu disse, quando tínhamos cargas simétricas, poderíamos considerar um ponto em que sabíamos que a deflexão era zero, porém, agora não sabemos mais onde temos essa deflexão, vamos partir direto para o que sabemos, que nesse caso é a deformação, e como a deformação vai nos ajudar a determinar a declividade? Muito simples, podemos determinar a deformação de B com relação a A da seguinte maneira:

θ B / A = θ B - θ A

E pensa no seguinte, queremos saber quanto vale o ângulo em A, certo? Vamos isolar o ângulo:

θ A = θ B - θ B / A

E se multiplicarmos tudo por L, obtemos exatamente as deformações, mas perceba que a do ângulo A eu não irei modificar.

2 L θ A = 2 L θ B - 2 L θ B / A

2 L θ A = y B - y B / A

E sabemos que a deformação em B é zero, assim temos que:

θ A = - y B / A 2 L

E para determinarmos a deformação y B / A precisamos de todas as áreas entre A e B e das distâncias desses centroides ATÉ B, bem importante lembrar que sempre determinamos a distância com relação ao primeiro termo do subscrito B / A . Dividindo o nosso diagrama em áreas mais simples temos que:

A 1 = w L 2 2 E I × L × 1 3 = w L 3 6 E I

A 2 = - w L 2 2 E I × 2 L × 1 2 = - w L 3 2 E I  

E além das áreas precisamos da distância de cada centroide até o nosso ponto B, assim teremos que:

Assim podemos definir que:

y B / A = A 1 y 1 + A 2 y 2

y B / A = w L 3 6 E I × L 4 - w L 3 2 E I × 2 L 3

y B / A = w L 4 24 E I - w L 4 3 E I = w L 4 24 E I - 8 w L 4 24 E I

y B / A = - 7 w L 4 24 E I

Mas lembre-se que o objetivo é o ângulo, com isso teremos que:

θ A = - y B A 2 L = - - 7 w L 4 24 E I 2 L = 7 w L 3 48 E I

Resposta

θ A = 7 w L 3 48 E I

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