Enunciado

Para a viga e o carregamento mostrados na figura, ( a ) expresse o valor e a localização da deflexão máxima em termos de w 0 ,   L , E e I . ( b ) Calcule o valor da deflexão máxima, considerando que a viga A B é um perfil de aço laminado W 18 × 50 e que w 0 = 4,5   k i p s f t , L = 18   f t e E = 29 × 10 6   p s i .

Passo 1

Fala aí, galera. Beleza? Bora fazer mais um exercício pra ficar craque.

Primeiro, temos que o carregamento distribuído é dado por:

d V d x = - w = - w 0 L ( L - x )

Integrando, vamos obter a equação de força cortante:

d M d x = V = - w 0 L L x - 1 2 x 2

E por fim, ao integrar novamente, vamos obter o momento:

M = - w 0 L L x 2 2 - 1 6 x 3

Com isso, podemos substituir esta equação que encontramos na equação diferencial da linha elástica. Ela é dada por:

E I d 2 y d x = M

Substituindo:

E I d 2 y d x 2 = - w 0 L - 1 3 L 2 x - L x 2 2 - 1 6 x 3

Agora, considerando a rigidez à flexão constante, vamos integrar esta equação duas vezes, para obtermos, respectivamente, a equação para a força cortante e a equação da linha elástica. Integrando, temos:

E I d y d x = - w 0 L - 1 6 L 2 x 2 - L x 3 6 - 1 24 x 4 + C 1

Integrando mais uma vez:

E I y = - w 0 L - 1 18 L 2 x 2 - L x 3 24 - 1 120 x 5 + C 1 x + C 2

Passo 2

O próximo passo é determinarmos as constantes. Para isso, vamos utilizar as condições de contorno. São elas:

x = 0 → d y d x = 0 x = L → y = 0

Com isso, vamos substituir estas condições nas respectivas equações para determinarmos as constantes. Para a primeira:

C 1 = - 1 45 w 0 L 3

E para a segunda condição, temos:

C 2 = 0

Com as constantes definidas, basta as substituirmos na equação y que encontramos anteriormente. Fica assim:

E I y = - w 0 L - 1 18 L 2 x 2 - L x 3 24 - 1 120 x 5 + C 1 x + C 2 y = w 0 E I L - 1 18 L 2 x 2 - L x 3 24 - 1 120 x 5 - 1 45 L 4

Esta é a equação da linha elástica.

Passo 3

Para acharmos o local da deflexão máxima, temos:

d y d x = 0 f = 1 6 L 2 x m á x 2 - 1 6 L x m á x 3 + 1 24 x m á x 4 - 1 45 L 4 = 0

Dado z = x m á x L :

f = 1 6 z 2 - 1 6 z 3 + 1 24 z 4 - 1 45 = 0

Assim, temos que:

x m á x = 0,00652 w 0 L 4 E I x m á x = 0,481   L

Passo 4

Para determinarmos a deflexão máxima vamos utilizar a equação para a linha elástica, dada por:

y = w 0 E I L - 1 18 L 2 x 2 - L x 3 24 - 1 120 x 5 - 1 45 L 4

E substituindo no ponto x m á x e utilizando os valores que o enunciado nos forneceu:

y m á x = 0,229   i n

É isso, galera! Vamos fazer mais questões.

Resposta

x m á x = 0,00652 w 0 L 4 E I x m á x = 0,481   L

y m á x = 0,229   i n

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Para a viga e o carregamento mostrados na figura, determine ( a ) a equação da linha elástica para a parte A B da viga, ( b ) a inclinação em A e ( c ) a inclinação em B .
Sabendo que a viga A B é um perfil de aço laminado S 200 × 34 e que P = 60k N , L = 12m m e E = 200G P a , determine ( a ) a inclinação em A e ( b ) a deflexão em C .
Para o carregamento mostrado nas figuras, determine ( a ) a equação da linha elástica para a viga em balanço A B , ( b ) a deflexão da extremidade livre e ( c ) a inclinação na extremidade livre.
Para a viga em balanço e o carregamento mostrados nas figuras, determine ( a ) a equação da linha elástica para a parte A B da viga, ( b ) a deflexão em B e ( c ) a inclinação em B .
Para o carregamento mostrado nas figuras, determine ( a ) a equação da linha elástica para a viga em balanço A B , ( b ) a deflexão da extremidade livre e ( c ) a inclinação na extremidade livre.