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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Mecânica dos Materiais- Ed: 7º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 36

Para a viga e o carregamento mostrados nas figuras, determine (a) a equação da linha elástica, (b) a inclinação na extremidade A e (c) a deflexão do ponto C.

Passo 1

Opaa! Fala pessoal, beleza? Bora pra mais um?! Para resolver esse exercício, vamos utilizar a equação que governa a linha elástica, dada por:

E I . d 2 y d x 2 = M

Então, nós precisamos da equação para o momento da viga, vamos determinar essa equação com o auxílio das funções de singularidade vistas nesse capítulo, depois disso conseguimos integrar a expressão acima para obter a equação para a inclinação. Integrando novamente conseguimos obter a equação para a deflexão, e aí temos tudo o que precisamos pra resolver o exercício. Então bora lá!

Passo 2

Beleza! Vamos começar desenhando o DCL para o sistema, onde teremos:

Beleza! Com o DCL esboçado, vamos aplicar o somatório de momentos em relação ao ponto A para obter o valor da reação em B, então teremos:

+ ↺ ∑ M A = 0

M + B y L = 0 → B y = - M L

Agora vamos aplicar o somatório de momento em relação ao ponto B para obter o valor da reação no ponto A, onde teremos:

+ ↺ ∑ M B = 0

M - A y L = 0 → A y = M L

Beleza! Agora, como nesse caso temos somente a força de apoio e o momento localizado, fica fácil escrever direto a equação de singularidade para o momento. Tomando o ponto A como referência, temos então:

M = A y x - M < x - a > 0 = M L x - M < x - a > 0

Passo 3

Agora nós podemos utilizar a equação que governa o regime elástico descrita lá no passo 1 e substituir a equação obtida para o momento, então teremos:

E I . d 2 y d x 2 = M L x - M < x - a > 0

Agora vamos integrar essa expressão, chegando em:

E I . d y d x = M 2 L x 2 - M < x - a > 1 + C 1

Agora nós vamos integrar a equação novamente para obter a equação da deflexão, então teremos:

E I . y = M 6 L x 3 - M < x - a > 2 + C 1 x + C 2

Beleza! Agora para encontrar o valor das constantes C 1 e C 2 vamos utilizar as condições de contorno que temos. No nosso caso, sabemos que a deflexão será zero nos dois apoios da viga, ou seja:

x = 0 → y = 0

x = L → y = 0

Substituindo a primeira relação na equação para a deflexão, temos:

E I . 0 = M 6 L 0 3 - M < 0 - a > 2 + C 1 0 + C 2 → C 2 = 0

Agora, substituindo a segunda condição de contorno na equação da deflexão, teremos:

E I . 0 = M 6 L L 3 - M < L - a > 2 + C 1 L + 0 → C 2 = 0

0 = M L 2 6 - M L - a 2 + C 1 L → C 1 = - M L 6 + M L L - a 2

Então, a nossa equação para a linha elástica será:

E I . y = M 6 L x 3 - M < x - a > 2 + C 1 x + C 2

y = 1 E I M 6 L x 3 - M < x - a > 2 + - M L 6 + M L L - a 2 x

Shoow, fechamos a (a), agora bora pra (b)

Passo 4

Agora para resolver a letra (b), vamos pegar a equação que encontramos para a inclinação da viga lá no passo 3, dada por:

E I . d y d x = M 2 L x 2 - M < x - a > 1 + C 1

Substituindo a expressão encontrada para C 1 no passo 3, temos:

E I . d y d x = M 2 L x 2 - M < x - a > 1 - M L 6 + M L L - a 2

Então, para calcular a inclinação no ponto A, basta calcular essa equação para x = 0 , então teremos:

E I . d y d x x = 0 = M 2 L ( 0 ) 2 - M < 0 - a > 1 - M L 6 + M L L - a 2

E I . d y d x x = 0 = 0 - 0 - M L 6 + M L L - a 2

d y d x x = 0 = 1 E I - M L 6 + M L L - a 2

Tá aí! Bora pra (c) pra fechar.

Passo 5

Agora para a letra (c), vamos pegar a equação para a deflexão encontrada no passo 3 e calcular no ponto C, em x = L / 2 , então teremos:

y = 1 E I M 6 L L 2 3 - M < L 2 - a > 2 + - M L 6 + M L L - a 2 L 2

y = 1 E I M L 2 48 L - M L 2 - a 2 - M L 2 12 + M 2 L - a 2

Abrindo esses produtos notáveis, teremos:

y = 1 E I M L 2 48 L - M L 2 4 - L a + a 2 - M L 2 12 + M 2 L 2 - 2 L a + a 2

y = 1 E I M L 48 - M L 2 4 + M L a - M a 2 - M L 2 12 + M L 2 2 - M L a + M a 2 2

y = 1 E I M L 48 + M L 2 6 - M a 2 2

Tooop! Fechamos a letra (c) e o exercício por aqui, valeeu!

Resposta

a :   y = 1 E I M 6 L x 3 - M < x - a > 2 + - M L 6 + M L L - a 2 x

b :   d y d x x = 0 = 1 E I - M L 6 + M L L - a 2

c :   y = 1 E I M L 48 + M L 2 6 - M a 2 2

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