Enunciado

Para a viga e o carregamento mostrados na figura, determine ( a ) a equação da linha elástica para a parte A B da viga, ( b ) a inclinação em A e ( c ) a inclinação em B .

Passo 1

Fala aí, galera. Beleza? Bora fazer mais um exercício pra ficar craque.

Primeiro, vamos esboçar o DCL:

Agora, vamos utilizar as equações de equilíbrio para determinarmos as reações de apoio, temos:

∑ M B = 0 - R A L + w L L 2 - ( w L ) L 4 = 0 R A = 1 4 w L

Com as reações de apoio determinadas, vamos utilizar a equação de momento no ponto x , dado que 0 ≤ x < L para determinarmos a equação para o momento fletor:

∑ M x = 0 - R A x + w x x 2 + M = 0 M = w L 4 x - w 2 x 2

Com isso, podemos substituir esta equação que encontramos na equação diferencial da linha elástica. Ela é dada por:

E I d 2 y d x = M

Substituindo:

E I d 2 y d x 2 = w L 4 x - w 2 x 2

Agora, considerando a rigidez à flexão constante, vamos integrar esta equação duas vezes, para obtermos, respectivamente, a equação para a força cortante e a equação da linha elástica. Integrando, temos:

E I d y d x = w L 8 x 2 - w 6 x 3 + C 1

Integrando mais uma vez:

E I y = w L 24 x 3 - w 24 x 4 + C 1 x + C 2

Passo 2

O próximo passo para encontrarmos a equação da linha elástica é determinarmos as constantes. Para isso, vamos utilizar as condições de contorno. São elas:

x = 0 → d y d x = 0 x = 0 → y = 0

Com isso, vamos substituir estas condições nas respectivas equações para determinarmos as constantes. Para a primeira:

C 1 = 0

E para a segunda condição, temos:

C 2 = 0

Com as constantes definidas, basta as substituirmos na equação que encontramos anteriormente. Fica assim:

E I y = w L 24 x 3 - w 24 x 4 + C 1 x + C 2

y = w 24 E I L x 3 - x 4

Esta é a nossa equação para a linha elástica.

Passo 3

Em seguida, para determinarmos a inclinação no ponto A basta utilizarmos a equação para a força cortante que encontramos anteriormente e substituirmos neste ponto. Assim, substituindo:

E I d y d x = w L 8 x 2 - w 6 x 3 d y d x = w L 8 x 2 - w 6 x 3 θ A = 0

Passo 4

Por fim, para determinarmos a a inclinação em B vamos utilizar a equação para a força cortante e substituirmos no ponto indicado. Portanto:

d y d x = w L 8 x 2 - w 6 x 3 θ B = w L 3 24 E I

É isso, galera! Vamos fazer mais questões.

Resposta

y = w 24 E I L x 3 - x 4

θ A = 0

θ B = w L 3 24 E I

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Para a viga com carregamento mostrado, determinar: ( a ) a deflexão no ponto C ; ( b ) a declividade na extremidade A .
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