Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Mecânica dos Materiais- Ed: 7º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 121
Para a viga e o carregamento do Problema 9.117, determine (a) a força P para a qual a deflexão é zero no ponto médio C da viga e (b) a deflexão correspondente na extremidade A. Use E = 200 GPa.
Passo 1
Opaa! Fala pessoal, beleza? Bora pra mais um?! Para resolver esse exercício, vamos utilizar o método do momento de área. Para isso vamos precisar desenhar o diagrama M/EI para a viga. Depois disso, sabemos que a área entre dois pontos sob a curva M/EI representa a inclinação entre esses dois pontos. E para obter a deflexão, vamos utilizar o teorema do segundo momento de área, que nos fornece o desvio tangencial entre dois pontos. Sabendo disso, temos tudo o que precisamos para resolver o exercício, então bora lá!
Passo 2
Beleza! Para encontrar o momento nos pontos B e C, vamos desenhar DCL para essas duas partes. Então, para uma seção de comprimento x entre os pontos A e B, teremos:
Então, nesse caso, aplicando o somatório de momento em relação ao ponto F, teremos:
Com . Agora vamos estender essa seção para um comprimento x entre B e C, onde teremos:
Então, nesse caso, aplicando o somatório de momento em relação ao ponto F, teremos:
Passo 3
Agora vamos dividir os momentos em 3 partes. A primeira será a porção linear referente ao momento gerado pela força em A. A segunda será a porção linear referente a reação de apoio em B e a terceira será a porção constante referente a força aplicada em A. Então teremos:
Agora vamos calcular os momentos nos pontos A, B e C, onde teremos:
Passo 4
Então nosso diagrama M/EI será:
Agora, antes de calcular as áreas sob o diagrama, precisamos calcular o termo EI que fica no denominador, consultando o apêndice C, teremos o seguinte momento de inércia para o nosso perfil de viga:
Então o termo EI será:
Então, agora vamos calcular as áreas que encontramos e os seus centroides, só lembrando que vamos precisar somente da área entre os pontos AB e entre BC, então teremos:
Passo 5
Beleeeza! Agora, sabemos que a deflexão entre dois pontos será dada através do teorema do segundo momento de área, que é dado por:
Em que é a área embaixo da curva e é a distância do centroide da área até o eixo vertical que passa pelo ponto de interesse, que no nosso caso é o ponto A. Então, utilizando as áreas que temos no nosso diagrama , teremos:
Sabendo que não temos deflexão em B devido ao apoio e substituindo os valores conhecidos, teremos:
Então a força P para quando temos deflexão zero no ponto C pode ser encontrada através do somatório de forças na direção y, já que o carregamento é simétrico e teremos , então teremos:
Beleza, vamos pra (b) agora!
Passo 6
Tá legal! Agora podemos calcular a deflexão no ponto A, utilizando novamente o teorema do segundo momento de área, então teremos:
Substituindo os valores conhecidos, teremos:
Tooop! Terminamos mais um!!