Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Mecânica dos Materiais- Ed: 7º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 120
Para a viga e o carregamento mostrados na figura, e sabendo que w = 8 kN/m, determine (a) a inclinação na extremidade A e (b) a deflexão no ponto médio C. Use E = 200 GPa.
Passo 1
Opaa! Fala pessoal, beleza? Bora pra mais um?! Para resolver esse exercício, vamos utilizar o método do momento de área. Para isso vamos precisar desenhar o diagrama M/EI para a viga. Depois disso, sabemos que a área entre dois pontos sob a curva M/EI representa a inclinação entre esses dois pontos. E para obter a deflexão, vamos utilizar o teorema do segundo momento de área, que nos fornece o desvio tangencial entre dois pontos. Sabendo disso, temos tudo o que precisamos para resolver o exercício, então bora lá!
Passo 2
Tá legal, vamos começar encontrando a força nos apoios, nesse caso, como temos um carregamento simétrico aplicado na viga, a reação nos apoios será igual a metade da carga aplicada, ou seja:
Para encontrar o momento nos pontos A e C, vamos desenhar DCL para uma seção da viga de comprimento , onde teremos:
Então, nesse caso, aplicando o somatório de momento em relação ao ponto F, teremos:
Agora nós vamos separar os momentos em três partes. A primeira é a parte constante igual a -40, essa será uma das áreas do diagrama M/EI. A segunda parte é referente ao momento causado pela reação de apoio, correspondente a 40x. E por último temos a parte parabólica. Então, teremos:
Passo 3
Agora vamos calcular os momentos nos pontos A e C, onde teremos:
Então nosso diagrama M/EI será:
Agora, antes de calcular as áreas sob o diagrama, precisamos calcular o termo EI que fica no denominador, consultando o apêndice C, teremos o seguinte momento de inércia para o nosso perfil de viga:
Então o termo EI será:
Então, agora vamos calcular as áreas que encontramos e os seus centroides, só lembrando que vamos precisar somente da área entre os pontos AB e entre BC, então teremos:
Passo 4
Tá legal! Agora podemos calcular a inclinação no ponto A, sabendo que a inclinação entre dois pontos é representada pela área sob a curva do diagrama , então a inclinação do ponto A será:
Substituindo os valores encontrados para a área e sabendo que no ponto C não teremos inclinação devido ao carregamento simétrico e localizado no centro da viga, teremos:
Beleza, vamos pra (b) agora!
Passo 5
Beleeeza! Agora, sabemos que a deflexão entre dois pontos será dada através do teorema do segundo momento de área, que é dado por:
Em que é a área embaixo da curva e é a distância do centroide da área até o eixo vertical que passa pelo ponto de interesse, que no nosso caso é o ponto A. Então, utilizando as áreas que temos no nosso diagrama , teremos:
Sabendo que não temos deflexão em A devido ao apoio e substituindo os valores conhecidos, teremos:
Tooop! Terminamos mais um!!