Enunciado

Para a viga prismática com o carregamento mostrado, determinar:

  1. A deflexão no ponto C

Passo 1

Então galera, até aqui vimos casos de vigas simétricas, e esse caso pode acabar nos dando um medinho, mas pode ficar tranquilo, porque todas as premissas continuam iguais, a diferença está em como vamos usar ela, e para isso, sabemos de cara que precisamos das nossas reações de apoio, com isso, temos que:

∑ M B = 0

- V A L + w L L 2 - w L 2 L 4 = 0

- V A L + w L 2 2 - w L 2 8 = 0

V A L = 4 w L 2 8 - w L 2 8

V A L = 3 w L 2 8

V A = 3 w L 8

∑ F V = 0

3 w L 8 + V B - w L + L 2 = 0

3 w L 8 + V B - 3 w L 2 = 0

3 w L 8 + V B - 12 w L 8 = 0

V B = 9 w L 8

Podemos determinar o ponto em que o cortante é zero exatamente onde o momento vai ser máximo, assim, vamos ter que:

w x = 3 w L 8

x = 3 L 8 = 0,375 L

E com esses dados podemos desenhar o nosso diagrama de momentos fletores da nossa viga, que ficaria da seguinte maneira:

mas se liga só, calcular esse diagrama seria quase impossível, então, podemos usar um macete, vamos descartar o nosso apoio em A, e vamos supor que em B temos um engaste, e o macete vai ser desenhar o diagrama de cada carregamento separado, assim vamos ter:

E sabemos que devemos dividir o nosso diagrama por E I , e assim teremos que:

Passo 2

Como as nossas cargas são assimétricas, vamos precisar do nosso ângulo, exatamente porque o nosso ângulo vai dar um acréscimo na nossa deformação, sabemos que:

y C / A = y C - y A

Mas também podemos dizer que:

y C / A = y C - L C θ A

E perceba que estamos usando não mais o comprimento total porque antes o nosso comprimento total era usado porque estávamos olhando o ponto B, como aqui estamos olhando apenas o ponto C, usamos a distância de A até E, porém lembre que já determinamos uma fórmula para esse ângulo, assim podemos escrever que:

y C / A = y C + L C y B / A L

E como queremos a nossa deformação em C, podemos escrever:

y C = y C / A - L C y B / A L

E vale lembrar que precisamos lembrar:

  • Só usarmos as áreas entre A e C, ou seja, as áreas 1, 2 e 3 e por consequência a distância desse centroide até O PONTO C, porque lembre que ele é o primeiro da nossa relação.

Assim teremos que:

A 1 = - 3 w L 2 8 E I × L × 1 2 = - 3 w L 3 16 E I

A 2 = L × w L 2 2 E I × 1 3 = w L 3 6 E I

A 3 = L 2 × w L 2 8 E I × 1 3 = w L 3 48 E I

y C / A = A 1 y 1 + A 2 y 2 + A 3 y 3

y C / A = - 3 w L 3 16 E I L 3 + L 2 + w L 3 6 E I L 4 + L 2 + w L 3 48 E I 3 L 8

y C / A = - 3 w L 3 16 E I 5 L 6 + w L 3 6 E I 6 L 8 + w L 3 48 E I 3 L 8

y C / A = - 15 w L 4 96 E I + w L 4 8 E I + w L 3 128 E I

y C / A = - 60 w L 4 384 E I + 48 w L 4 384 E I + 3 w L 3 384 E I

y C / A = - 9 w L 4 384 E I = - 3 w L 4 128 E I

Sabemos pelo item A) que:

θ A = w L 3 48 E I

Substituindo na nossa fórmula temos que:

y C = y C / A - L C y B / A L

y C = - 3 w L 4 128 E I + L + L 2 w L 3 48 E I

y C = - 3 w L 4 128 E I + 3 w L 4 96 E I

y C = - 9 w L 4 384 E I + 12 w L 3 384 E I

y C = 3 w L 4 384 E I

y C = w L 4 128 E I

Resposta

y C = w L 4 128 E I

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