Enunciado

Para a viga com o carregamento mostrado, determinar a constante de mola k para que o momento fletor em B seja M B = - w L 2 / 12   .

Passo 1

Então galera, vamos partir para a parte final do nosso capitulo, e para isso podemos ficar bem de boas, porque aqui vamos usar alguns conceitos bem interessantes, e para isso, podemos ver o seguinte.

Primeiro, vamos chamar a nossa reação na mola de F , que podemos escrever como sendo:

F = k y B

Pelo enunciado, queremos que o momento em B seja de - w L 2 / 12 , assim, dividindo a nossa viga, podemos dizer que:

∑ M B = 0

- R A L + w L L 2 - w L 2 12 = 0

R A L = - w L 2 12 - 6 w L 2 12 = 5 w L 2 12

R A = 5 w L 12

Como a nossa viga é simétrica, e a nossa carga é simétrica, podemos dizer que:

R A = R C

Assim podemos ter que o somatório de forças vai ser dado por:

5 w L 12 + F + 5 w L 12 - 2 w L = 0

F = 2 w L - 5 w L 6 = 7 w L 6

Assim a nossa viga carregada tem a seguinte cara:

Vamos supor que o nosso engaste está no ponto B, e vamos desenhar o diagrama de cada uma das cargas separadamente com relação ao ponto B. Assim, teremos que:

E aqui vai entrar um conceito novo bem importante, os nossos diagramas de momentos em si não podem nos ajudar diretamente, por isso é importante fazermos uma modificação nele, e é bem simples, como a inércia da nossa barra é toda igual pelo comprimento dela, basta dividirmos os diagramas por E I , mas se ela tivesse diferentes inércias em diferentes trechos, é só dividir cada trecho pelo seu E I respectivo, sendo assim o nosso diagrama passa a ser.

E é esse que vamos usar nos nossos cálculos, beleza?

Passo 2

Agora pensa no seguinte, se olharmos a nossa equação da força F, vemos que ela depende da deformação no ponto B, logo, precisamos saber como determinar a deformação lá, e assim podemos fazer o seguinte:

A   d e f l e x ã o   r e l a t i v a   d o   p o n t o   A   c o m   r e l a ç ã o   a o   p o n t o   d e   r e f e r e n c i a  

q u e   n e s s e   c a s o   é   B

é   i g u a l   a   d e f l e x ã o   d o   p o n t o   A   m e n o s   a   d e f l e x ã o   d a   r e f e r ê n c i a .

Assim vamos ter que:

y A / B = y A - y B

E se liga só, se o ponto A é um apoio, quanto é a deformação nele? Haha, olha que maravilha:

y A = 0

Então:

y A / B = - y B

E como determinamos y A / B ? É bem tranquilo, lembra os diagramas que determinamos nos itens anteriores? Basta pegarmos a distancia do centroide de cada área, entre os pontos A e B, até o ponto que é a nossa referência (que nesse caso é o ponto A) e multiplicarmos pelas respectivas áreas e somar, muito tranquilo, né? Assim vamos ter que, usando apenas as áreas entre o ponto A e o ponto B:

A 1 = w L 2 2 E I × L × 1 3 = w L 3 6 E I

A 2 = - 5 w L 2 12 E I × L × 1 2 = - 5 w L 3 24 E I

Determinando a distância do centroide até o termo de referência, que nesse caso é o ponto A, obtém-se que:

y A / B = y 1 A 1 + y 2 A 2

- y B = y A / B = w L 3 6 E I × 3 L 4 - 5 w L 3 24 E I × 2 L 3

- y B = y A / B = w L 4 8 E I - 10 w L 4 72 E I

- y B = y A / B = 9 w L 4 72 E I - 10 w L 4 72 E I = - w L 4 72 E I

y B = w L 4 72 E I

Sabemos quanto vale F e sabemos quanto que vale y B , substituindo na nossa equação, temos que:

7 w L 6 = k w L 4 72 E I

k = 7 w L 6 × 72 E I w L 4

k = 84 E I L 3

Resposta

k = 84 E I L 3

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Para a viga com o carregamento mostrado, determinar:A deflexão em D.Obs: Determinar o ângulo em A considerando um caso isostático
Resolver o Prob.9.114, assumindo que o apoio fixo em B seja substituído por um apoio articulado fixo.A deflexão em D.
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Resolver o Prob.9.114, assumindo que o apoio fixo em B seja substituído por um apoio articulado fixo.Obs: determinação do ângulo em A.
Para a viga com carregamento mostrado, determinar a reação em cada um dos apoios.Obs: determinação da deformação em C para o caso 1