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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Mecânica dos Materiais- Ed: 7º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 116

Para a viga prismática e o carregamento mostrados nas figuras, determine (a) a inclinação na extremidade A e (b) a deflexão no centro C da viga.

Passo 1

Eaeee, beleza?? Se você passou pelo exercício 115, esse vai ser mole, é quase a mesma coisa, bora lá! Para resolver esse exercício, vamos utilizar o método do momento de área. Para isso vamos precisar desenhar o diagrama M/EI para a viga. Depois disso, sabemos que a área entre dois pontos sob a curva M/EI representa a inclinação entre esses dois pontos. E para obter a deflexão, vamos utilizar o teorema do segundo momento de área, que nos fornece o desvio tangencial entre dois pontos. Sabendo disso, temos tudo o que precisamos para resolver o exercício, então bora lá!

Passo 2

Tá legal, vamos começar encontrando a força nos apoios, nesse caso, como só temos um carregamento simétrico aplicado na viga, a reação nos apoios será igual a metade da carga aplicada, ou seja:

A y = E y = P + 2 P + P 2 → A y = E y = 2 P

E, o momento aplicado na viga será dado por:

M = 2 P x

Com 0 < x < 2 a . Sendo assim, no ponto B e C, teremos:

M B = 2 P a → M B = 2 P a

M C = 2 P 2 a → M C = 4 P a

Passo 3

Agora, para o diagrama M/EI, como temos seções diferentes de viga entre os pontos B e D, a linearidade do diagrama será “quebrada”, pois nesse ponto teremos um EI maior. Então o nosso diagrama EI será:

Observe que dividimos a área entre os pontos B e C em 2, isso para que tenhamos 2 triângulos e seja mais fácil calcular as áreas e os centroides. Então, agora vamos calcular as áreas que encontramos e os seus centroides, só lembrando que vamos precisar somente da área entre os pontos AB e entre BC, então teremos:

A 1 = b h 2 = a 2 P a E I 2 → A 1 = P a 2 E I

x - 1 = b 3 = a 3

A 2 = b h 2 = a 2 P a 3 E I 2 → A 2 = P a 2 3 E I

x - 2 = b 3 = a 3

A 3 = b h 2 = a 4 P a 3 E I 2 → A 3 = 2 P a 2 3 E I

x - 3 = b 3 = a 3

Passo 4

Tá legal! Agora podemos calcular a inclinação no ponto A, sabendo que a inclinação entre dois pontos é representada pela área sob a curva do diagrama M / E I , então a inclinação do ponto A será:

θ A / C = θ A - θ C = A 1 + A 2 + A 3

Substituindo os valores encontrados para a área e sabendo que no ponto C não teremos inclinação devido ao carregamento simétrico e localizado no centro da viga, teremos:

θ A - 0 = P a 2 E I + P a 2 3 E I + 2 P a 2 3 E I

θ A = 2 P a 2 E I

Beleza, vamos pra (b) agora!

Passo 5

Beleeeza! Agora, sabemos que a deflexão entre dois pontos será dada através do teorema do segundo momento de área, que é dado por:

t C / A = A C A x -

Em que A C A é a área embaixo da curva M / E I e x - é a distância do centroide da área até o eixo vertical que passa pelo ponto de interesse, que no nosso caso é o ponto C. Então, utilizando as áreas que temos no nosso diagrama M / E I , teremos:

t C - t A = A 1 x - 1 + A 2 x - 2 + A 3 x - 3

Sabendo que não temos deflexão em A devido ao apoio e substituindo os valores conhecidos, teremos:

t C - 0 = P a 2 E I a + a 3 + P a 2 3 E I a - a 3 + 2 P a 2 3 E I a 3

t C = 4 P a 3 3 E I + 2 P a 3 9 E I + 2 P a 3 9 E I → t C = 16 P a 3 9 E I

Shooow!! Terminamos mais um, valeeu!

Resposta

a :   θ A = 2 P a 2 E I

b : t C = 16 P a 3 9 E I

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Para a viga e o carregamento do P r o b . 9.49 , determinar a maior deflexão, para cima, no vão AB.Primeiro determinar a inclinação do ponto A para a Viga e carregamento do P r o b . 9 . 4 9 .
Para a viga e o carregamento do P r o b . 9.49 , determinar a maior deflexão, para cima, no vão AB.A intensidade do máximo para a Viga e carregamento do P r o b . 9 . 4 9 .
Para a viga e o carregamento do P r o b . 9.5 3 , determinar a maior deflexão, para cima, no vão DE.Primeiro determinar a inclinação do ponto D para a Viga e carregamento do P r o b . 9.5 3 .
Para a viga e o carregamento do P r o b . 9 . 50 , determinar a maior deflexão, para cima, no vão EB.A intensidade do máximo para a Viga e carregamento do P r o b . 9 . 50 .
Para a viga e o carregamento do P r o b . 9 . 50 , determinar a maior deflexão, para cima, no vão EB.Segundo a localização do ponto que ocorre o máximo para a Viga e carregamento do P r o b . 9 . 50 .