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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Mecânica dos Materiais- Ed: 7º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 115

Para a viga prismática e o carregamento mostrados nas figuras, determine (a) a inclinação na extremidade A e (b) a deflexão no centro C da viga.

Passo 1

Opaa! Fala pessoal, beleza? Bora pra mais um?! Para resolver esse exercício, vamos utilizar o método do momento de área. Para isso vamos precisar desenhar o diagrama M/EI para a viga. Depois disso, sabemos que a área entre dois pontos sob a curva M/EI representa a inclinação entre esses dois pontos. E para obter a deflexão, vamos utilizar o teorema do segundo momento de área, que nos fornece o desvio tangencial entre dois pontos. Sabendo disso, temos tudo o que precisamos para resolver o exercício, então bora lá!

Passo 2

Tá legal, vamos começar encontrando a força nos apoios, nesse caso, como só temos uma força localizada aplicada no centro da viga, a reação nos apoios será igual a metade da carga aplicada, ou seja:

A y = E y = P 2

E, o momento aplicado na viga será dado por:

M = P 2 x

Com 0 < x < 2 a . Sendo assim, no ponto B e C, teremos:

M B = P 2 a → M B = P a 2

M C = P 2 2 a → M C = P a

Passo 3

Agora, para o diagrama M/EI, como temos seções diferentes de viga entre os pontos B e D, a linearidade do diagrama será “quebrada”, pois nesse ponto teremos um EI maior. Então o nosso diagrama EI será:

Observe que dividimos a área entre os pontos B e C em 2, isso para que tenhamos 2 triângulos e seja mais fácil calcular as áreas e os centroides. Então, agora vamos calcular as áreas que encontramos e os seus centroides, só lembrando que vamos precisar somente da área entre os pontos AB e entre BC, então teremos:

A 1 = b h 2 = a P a 2 E I 2 → A 1 = P a 2 4 E I

x - 1 = b 3 = a 3

A 2 = b h 2 = a P a 4 E I 2 �� A 2 = P a 2 8 E I

x - 2 = b 3 = a 3

A 3 = b h 2 = a P a 2 E I 2 → A 3 = P a 2 4 E I

x - 3 = b 3 = a 3

Passo 4

Tá legal! Agora podemos calcular a inclinação no ponto A, sabendo que a inclinação entre dois pontos é representada pela área sob a curva do diagrama M / E I , então a inclinação do ponto A será:

θ A / C = θ A - θ C = A 1 + A 2 + A 3

Substituindo os valores encontrados para a área e sabendo que no ponto C não teremos inclinação devido ao carregamento simétrico e localizado no centro da viga, teremos:

θ A - 0 = P a 2 4 E I + P a 2 8 E I + P a 2 4 E I

θ A = 5 P a 2 4 E I

Beleza, vamos pra (b) agora!

Passo 5

Beleeeza! Agora, sabemos que a deflexão entre dois pontos será dada através do teorema do segundo momento de área, que é dado por:

t C / A = A C A x -

Em que A C A é a área embaixo da curva M / E I e x - é a distância do centroide da área até o eixo vertical que passa pelo ponto de interesse, que no nosso caso é o ponto C. Então, utilizando as áreas que temos no nosso diagrama M / E I , teremos:

t C - t A = A 1 x - 1 + A 2 x - 2 + A 3 x - 3

Sabendo que não temos deflexão em A devido ao apoio e substituindo os valores conhecidos, teremos:

t C - 0 = P a 2 4 E I a + a 3 + P a 2 8 E I a - a 3 + P a 2 4 E I a 3

t C = P a 3 3 E I + P a 3 12 E I + P a 3 12 E I → t C = P a 3 2 E I

Shooow!! Terminamos mais um, valeeu!

Resposta

a :   θ A = 5 P a 2 4 E I

b : t C = P a 3 2

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Uma viga central B D é presa por articulações a duas vigas em balanço A B e D E . Todas as vigas têm a seção transversal mostrada. Para o carregamento mostrado na figura, determine o maior valor de w
Para a viga mostrada, determine a reação em B .
Para a viga uniforme mostrada, determine a reação em cada um dos três apoios.
Para o carregamento mostrado na figura e, sabendo que as vigas A B e D E têm a mesma rigidez à flexão, determine a reação ( a ) em B , ( b ) em E .
Para a viga e o carregamento do P r o b . 9.49 , determinar a maior deflexão, para cima, no vão AB.Segundo a localização do ponto que ocorre o máximo para a Viga e carregamento do P r o b . 9 . 4 9 .