Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
Passo 1
Esse nosso sistema é não homogêneo, a primeira coisa que temos que fazer é determinar
Repara que temos
Beleza a próxima coisa que temos que fazer é resolver o sistema homogêneo, que vai ser
Passo 2
Vamos usar o método da eliminação aqui.
A primeira coisa a fazer é isolar uma das variáveis. Vamos isolar na segunda equação
Agora vamos derivar implicitamente
Passo 3
O próximo passo é substituir e na primeira equação
Passo 4
Resolvendo essa EDO vamos ter a seguinte equação auxiliar
Vamos ter
As soluções da equação vão ser
A solução da homogênea vai ser
Passo 5
Agora temos que encontrar
Passo 6
Agora temos que achar a solução particular, lembra que vai ser
A solução particular vai ficar
Vamos chamar esse vetor e da seguinte forma
Assim fica mais fácil fazer as contas ali na frente.
Repara que nenhuma dessas paradas está na solução da parte homogênea.
Agora temos que cálculo a derivada dessa parada
Passo 7
A derivada vai ficar
Passo 8
Agora vamos substituir e no sistema
Vamos primeiro listar as funções aqui para ajudar
Substituindo no sistema vamos ter
Vamos arrumar essas contas
Assim vamos ter a seguinte relação
Somando a primeira equação com a segunda vamos ter
Somando a segunda equação com a terceira vamos ter
Isso nos diz que
Isso nos diz que
Substituindo isso na última equação vamos ter
Assim
Então a solução particular vai ficar
Passo 9
A solução desse sistema vai ficar
Então
Passo 10
Agora temos que aplicar o valor inicial que ele nos deu. Sendo assim.