Nessa questão vamos ter que manipular a equação do movimento pra achar uma expressão pro em cada um dos meios porosos apresentados. Temos o caso de uma instalação que apenas tem o meio poroso, daí a única perda que carga com a qual teremos que nos preocupar é o .

Vamos ter que usar a equação do movimento então bora logo lembrar dela:

Ah, o enunciado pede pra desprezar o termo da equação do movimento, então vou tirá-lo logo.

Ignorá-lo é uma boa aproximação... ele fica pequeno face aos outros termos.

Agora, indo pra parte que diferencia os dois casos: no primeiro caso vamos estar interessados na componente do movimento, pois é nela que o movimento se concentra, exclusivamente. Como a gravidade também se encontra nesse eixo, ela vai aparecer no equacionamento.

Já no segundo caso, o movimento é no eixo ; como a gravidade NÃO está presente nesse eixo, ela NÃO aparecerá no equacionamento, ou melhor, terá valor zero. Daí o termo será nulo.

1. Escoamento contra a gravidade



Voltando à equação do movimento, já desprezando :

Antes de continuar, mais uma simplificação: NÃO nos foram informadas variações no tempo e nem variações do espaço, daí, vamos usar as hipóteses de estado estacionário e meio isotrópico. Razoável, né?

Só há movimento no eixo z, daí vamos escrever apenas a componente dos vetores para esse eixo.

Podemos isolar o termo com nessa equação:

Jogando o pra direita e integrando de até (repara que eu disse que o zero do meu eixo é onde começa o meio poroso):

Passo 3

2. Escoamento perpendicular à gravidade

Novamente, vou usar as hipóteses de estado estacionário e meio isotrópico.

O lance é que, agora, o movimento ocorre exclusivamente ao longo do eixo x. Daí vamos escrever as componentes dos vetores apenas para esse eixo. E, como já adiantei no passo 1, a componente da gravidade nesse eixo é ZERO. Daí:

Isolando o :

Integrando, em x, de a :

Como vimos na teoria, para encontrar uma expressão para perda de carga no meio poroso , precisamos usar tanto a equação do movimento como a equação de Bernoulli; encontramos um ponto de amarração, isto é, um termo igual nas duas equações e usamos ele para igualar expressões e depois isolar .

Já vimos em exercício anterior como fica o desenvolvimento da equação do movimento para esse caso:

Então, vou concentrar, nesse exercício, em trabalhar Bernoulli e o isolamento de .

Passo 2

• Escoamento contra a gravidade

A equação do movimento simplificada para este caso é:

Indo pra Bernoulli, a equação geral é:

Repara que estou usando subscrito para o início do meio poroso e para o fim.

Podemos simplificar Bernoulli:

1. O diâmetro por onde o fluido passa é constante daí área transversal é constante; como , é constante
2. Não tem bomba então não tem como ter trabalho da bomba né. Daí

A diferença de alturas vale e o se resume ao , que chamei de :

Agora temos que juntar as duas equações:

Equação do movimento:

Bernoulli:

Substituindo a primeira na segunda:

Como vimos na teoria, para encontrar uma expressão para perda de carga no meio poroso , precisamos usar tanto a equação do movimento como a equação de Bernoulli; encontramos um ponto de amarração, isto é, um termo igual nas duas equações e usamos ele para igualar expressões e depois isolar .

Já vimos em exercício anterior como fica o desenvolvimento da equação do movimento para esse caso:

Então, vou concentrar, nesse exercício, em trabalhar Bernoulli e o isolamento de .

Escoamento perpendicular à gravidade

A equação do movimento simplificada para este caso é:

Indo pra Bernoulli, a equação geral é:

Repara que estou usando subscrito para o início do meio poroso e para o fim.

Podemos simplificar Bernoulli:

1. O diâmetro por onde o fluido passa é constante daí área transversal é constante; como , é constante
2. Não tem bomba então não tem como ter trabalho da bomba né. Daí

E mais uma coisa importante: NÃO há diferença de altura entre esses dois pontos pois o meio poroso está “deitado”. Daí:

Portanto:

E o se resume ao , que chamei de :

Agora temos que juntar as duas equações:

Equação do movimento:

Bernoulli:

Substituindo a primeira na segunda:

É legal lembrar do resultado com o meio poroso “em pé”, com fluxo contra a gravidade: o resultado é o mesmo!

Essa é uma instalação bem simples: só tem o meio poroso.

Então, vamos começar caracterizando esse meio poroso, calculando e :

Para a porosidade:

Repara que usamos o SI e é fundamental que as unidades sejam iguais, para que a porosidade seja admensional!

Agora, bora calcular a permeabilidade do meio poroso :

Considerando que a areia possa ser aproximada por grãos, podemos usar . Daí:

Repara que a gente usou o diâmetro da partícula em metros, pra trabalhar no SI. A unidade que você usar no diâmetro vai definir a unidade do , já que as outras variáveis usadas são adimensionais.

Depois de achar os parâmetros do nosso meio poroso, podemos olhar pra geometria do problema e aplicar a equação de Bernoulli, já que o fluido é incompressível.

Aplicando a equação de Bernoulli:

Agora bora simplificar a equação, adotando o ponto como a entrada e como a saída:

• Podemos escrever a vazão como ; como vazão e área são constantes, é constante daí
• Não há bomba, daí
• , conforme vimos na teoria

Então a nossa equação simplificada ficou:

Adotando o SI:

Daí:

Como o escoamento é lento, vale a lei de Darcy:

Ainda no SI:

Vou usar subscrito para areia, para brita e chamar a água de água mesmo haha.

O enunciado dá um filtro com três camadas e pede pra calcularmos a capacidade, em , isto é, temos que calcular .

Algo importante é que sabemos (o enunciado diz) que o filtro é aberto pra atmosfera tanto na entrada como na saída, ou seja:

Considerando o eixo no mesmo sentido da velocidade , a equação do movimento fica:

Passando para o outro lado,

Primeiro de tudo, vamos considerar que não há perda de carga ao passar pela camada de água; isso é razoável e, de qualquer maneira, nem teríamos como estimar essa perda. Depois, vamos avaliar essa equação em cada um dos trechos.

• Para a areia:

Em que:

Resolvendo a integral, temos:

Como,

Substituindo isso em , temos:

O que nos dá ! Para simplificar, vou chamar de .

Substituindo na equação 1, temos:

• Para a brita:

Sendo,

E de forma semelhante, chegamos em:

Chamei de para simplificar!

Somando as equações , eliminamos o “intermediário”, que é :

Acontece que p filtro é aberto pra atmosfera na saída, daí:

E, como desconsideramos perda de carga na camada de água, é como se fosse fluido estático, daí:

Daí:

Guarda isso por enquanto, ok?

Passo 3

Precisamos das expressões do . Como enunciado NÃO fala que escoamento é lento, usamos Forchheimer:

Epa! Não temos ; temos que determiná-los. Como não temos experimentos, usamos as correlações.

Para :

• Para areia:

Repara que é o diâmetro médio de Sauter e foi calculado com os dados daquela tabelinha que o enunciado deu.

• Para a brita:

Para calcular , usamos a correlação de Santana e Massarani:

Em que e essa correlação é válida para valores de entre:

Daí:

Substituindo os nas expressões de e substituindo essas na equação que pedi pra você guardar:

Resolvendo a equação de segundo grau gerada:

A segunda opção NÃO tem sentido físico. Sabemos que o fluido tem que descer, por causa da gravidade, e dissemos que o sentido positivo do eixo z é para baixo, daí tem que ser positivo. Daí:

Como o enunciado pede nas unidades , convertemos e: