Antes de qualquer coisa, estou colocando essa questão aqui porque caiu uma igualzinha na minha prova quando fiz essa disciplina haha.

Esse exercício não quer nada muito complexo, é só fazer um desenho das forças atuando na partícula em cada um dos casos.

Para a partícula sedimentando num fluido parado, é igualzinho ao que vimos na teoria.

Já pra partícula no vácuo, temos que ter mais atenção! Como ela está em vácuo absoluto, NÃO vai ter nem empuxo e nem força de atrito, arraste! Isso porque o empuxo é uma força sim relacionada com o campo gravitacional, mas que só existe quando o corpo está imerso em um fluido. Já o atrito, surge do choque do corpo com partículas do meio em que ela está sedimentando, mas como está no vácuo, não tem essas partículas do meio então não há choques que gerem atrito.

1. Partícula sob ação de campo gravitacional sedimentando imersa em um fluido parado

Para uma partícula sob ação de campo gravitacional sedimentando imersa em um fluido parado, temos o mesmo caso que vimos na teoria.

• Por estar sob ação do campo gravitacional, vai aparecer a força peso.
• Por estar imersa em um fluido e sob ação do campo gravitacional, aparece o empuxo.
• Por estar com uma velocidade não nula em um meio contendo “algo” (repara que aqui eu estou me referindo às partículas do fluido, moléculas do fluido... e não às partículas que estão sedimentando) vai ter força de arraste



Temos que desenhar essas setinhas então elas têm que ter algum tamanho. Eu sei que lá da Física a gente aprende que tamanho está relacionado ao módulo, mas ignora isso nesse exercício, ok? Não temos nenhuma informação pra avaliar os módulos dessas forças nesse exercício então simplesmente desenhe e seja feliz haha.

Passo 3

• Partícula sob ação de campo gravitacional sedimentando no vácuo absoluto

Foi aquilo que discutimos lá no passo 1, se está em vácuo absoluto, não há empuxo e nem força de atrito. Vai ter apenas a força peso, devido ao campo gravitacional.

• Por estar sob ação do campo gravitacional, vai aparecer a força peso.
• Por NÃO estar imersa em um fluido, NÃO há empuxo.
• Por NÃO haver choques com a partícula sedimentando uma vez que não há nada no caminho dela (está no vácuo, né?), NÃO haverá força de arraste.

O objetivo dessa questão é fixar bem os conceitos teóricos desse capítulo. Vamos precisar bastante deles daqui pra frente.

Bora lá, temos o caso de uma partícula sedimentando num fluido parado e três afirmativas sobre velocidade terminal pra analisar. Já que vamos falar de velocidade terminal, é bom ter a fórmula dela ao nosso lado. Pela equação do movimento, chegamos em:

Em que é o volume da partícula e é sua área projetada.

1. Mudar o material que compõe a partícula não alteraria sua velocidade terminal

Ao mudar o material, estaríamos alterando a densidade dele, . Vemos, pela fórmula, que a densidade do material está sim relacionada com a velocidade terminal e alterá-la afetaria sim a velocidade terminal.

Como está no numerador, aumentar aumentaria e, da mesma forma, se diminuir diminui . Um exemplo pra isso são partículas de e partículas de ouro, de mesmo tamanho e no mesmo fluido. Como a densidade do ouro é maior, do ouro é maior, para um mesmo diâmetro de partícula.

Passo 3

2. A aceleração é máxima quando

Epa! Falsa! Quando o somatório de forças externas atuando na partícula é nulo e, pela segunda lei de Newton:

Daí se , a aceleração tem que ser nula . O que é máximo quando é o módulo da velocidade, que vai ser constante.

Passo 4

3. Considerando densidade constante, quanto maior a partícula, maior será sua velocidade terminal

Olha de novo pra fórmula da velocidade terminal:

Não tem nenhum diâmetro aparecendo ainda, mas bora lá: o volume a gente expressa em , ou seja, unidade de comprimento ao cubo. Já a área, é em unidade de comprimento ao quadrado. A unidade de comprimento que usamos pra partículas é algum diâmetro equivalente, né. Vamos falar diâmetro , agora. Daí, vai ser proporcional a:

Repara que eu não usei “” e sim o “proporcional” porque não sabemos qual a constante que acompanha essas potências de diâmetros já que nada foi nos dito sobre a morfologia. Simplificando os :

Daí, vemos que o diâmetro fica no numerador. A afirmativa é verdadeira porque quanto maior o tamanho da partícula, maior vai ser seu diâmetro e maior será .

Basicamente, essa questão está perguntando se partículas de iguais tamanho e morfologia imersas em um mesmo fluido e que diferem apenas no material têm velocidades terminais diferentes.

O que vou fazer é chamar uma partícula de 1 e outra de 2 e escrever as velocidades terminais delas, de forma genérica:

Repara que eu chamei a densidade da 1 de e a da 2 de . Vou considerar que 1 é a mais densa, ou seja, .

Agora, vamos comparar essas duas velocidades. Vou escrever uma do lado da outra e, como ainda não sei se essas velocidades são , vou colocar uma interrogação entre elas. O objetivo do problema vai ser determinar qual sinal matemático a interrogação é.

Vamos buscar formas de simplificar o problema, ver o que é constante, jogar pra fora da raiz e sair cortando coisas dos dois lados.

Primeiro de tudo, tanto a área projetada como o volume podem ser escritos como uma constante (que depende da morfologia da partícula) vezes uma potência do diâmetro. Para o volume, essa constante é o fator de forma ; para a área projetada, não tem nenhuma constante específica, então bora dizer que essa constante é .

Agora começamos a cortar as coisas haha:

• Se as partículas têm a mesma morfologia: e
• Se as partículas têm o mesmo tamanho:
• Estando as partículas no mesmo fluido, estamos com iguais
• Nada foi falado sobre diferentes campos de força em cada caso, daí é um só

Cortei tudo que era igual, mas repara que não podia cortar esse do numerador porque ele tá dentro de um parêntesis então não tenho como tirar ele da raiz pra cortar. O enunciado diz para assumir constante, daí:

Como e é igual:

Daí:

Ou seja, provamos que quanto mais densa (maior ) a partícula, maior a velocidade terminal dela.

“Mas, Marcelo, o enunciado diz que é pra ser assumido constante...por que você não cortou logo ele junto com os outros?” Só porque quero comentar um pouco mais sobre eles com você haha. O que a questão pediu já acabou lá no passo 2.

Vimos lá na teoria que depende de e , isto é, . Como a morfologia é igual nos dois casos, sobra apenas pra analisar. A fórmula do é

Escrevendo pras duas partículas:

Já vimos que e os diâmetros são iguais:

Assumindo constante, vimos que , daí:

Um spoiler do próximo capítulo é que conforme aumenta, ou diminui ou fica constante; nunca aumenta. Ou seja, quem tiver velocidade terminal maior teria menor , já que estamos avaliando todos outros termos do iguais e iguais. Daí, voltando pra:

Como , e os estão no denominador, o lado esquerdo poderia ficar maior ainda.

E pra que eu falei isso tudo do ? Pra você NÃO pensar que ficaria tipo um cabo de guerra entre e . O que acontece, na verdade, é que eles vão por mesmo lado: se aumenta, diminuir, contribuindo pra aumentar.

Que louco! Duas partículas disputando corrida haha Mas deixa elas lá né, fazer o que? Haha

Bora focar no que interessa: quem ganhará a corrida? O enunciado manda desprezar a fase acelerada do movimento, daí, consideramos que, desde o início, partículas caminham com velocidade terminal. Como vimos lá na teoria, a expressão pra velocidade terminal em fluido estagnado é:

Agora, temos duas partículas, então vamos ter que comparar as velocidades delas. A que tiver maior velocidade, ganhará a corrida.

Olhando, novamente, pra expressão da velocidade terminal:

Bora destacar, em vermelho, tudo que for igual nas duas partículas:

• Partículas são idênticas, daí iguais e
• Enunciado fala pra considerar iguais coeficientes de arrasto, isto é,
• Como o fluido é o mesmo, iguais

Daí:

Ou seja, nessas condições, a diferença de velocidade depende apenas do campo. Quem tiver maior campo terá maior velocidade terminal e ganhará a corrida.

Resumindo o enunciado, temos duas partículas de mesmo material (daí igual ), mas de tamanhos diferentes; em termos de diâmetros, é dito que:

As duas partículas estão imersas em um mesmo fluido (daí igual ), mas expostas a campos centrífugos distintos, e .

O enunciado pede pra considerarmos igual para as duas partículas e, a partir disso, achar a razão para que a velocidade terminal das duas partículas seja igual.

Sem dúvida, vamos ter que trabalhar com a expressão de para sedimentação em fluido estagnado, que vimos lá na teoria:

Como as partículas são esferas: e , lembrando que é o volume e é a área projetada. Daí, substituindo:

Agora que já sabemos com qual expressão vamos trabalhar, bora começar a escrever a expressão pra cada uma das esferas:

Usando :

Temos que achar a razão para que a velocidade terminal das duas partículas seja igual. Opa! Velocidades iguais... esse vai ser nosso ponto de partida, bora igualar essas duas velocidades.

Agora, vou colocar em evidência tudo que for igual para as duas:

E o que for igual podemos cortar dos dois lados, né? Daí:

Elevando os dois lados ao quadrado:

E, como queremos a razão :

Bom lembrar que, para que as velocidades terminais sejam iguais, os campos devem estar atuando na mesma direção e sentido 😉