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Exercícios Resolvidos de Polinômio de Taylor para f(x,y,z)

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Exercício 213

Enunciado

Determine o polinômio de Taylor de ordem 1 da função dada em torno do ponto x 0 , y 0 , z 0 dado.

f x , y , z = x 3 + y 3 + z ³           e           x 0 , y 0 , z 0 = 1,1 , 1

Passo 1

Para acharmos o polinômio de Taylor a primeira coisa é achar as derivadas de ordem 1 da minha função

∂ f ∂ x = 3 x 2

∂ f ∂ y = 3 y 2

∂ f ∂ z = 3 z 2

Agora temos que achar essas derivadas no ponto

∂ f ∂ x 1,1 , 1 = 3 1 2 = 3

∂ f ∂ y 1,1 , 1 = 3 1 2 = 3

∂ f ∂ z 1,1 , 1 = 3 1 2 = 3

Passo 2

Agora vamos achar os termos do polinômio, lembrando que

Se tivermos a derivada em relação a x o termo vai ser:

∂ n f ∂ x n x 0 , y 0 , z 0 x - x 0 n n !

Se tivermos a derivada em relação a y o termo vai ser:

∂ n f ∂ y n x 0 , y 0 , z 0 y - y 0 n n !

Se tivermos a derivada em relação a z o termo vai ser:

∂ n f ∂ z n x 0 , y 0 , z 0 z - z 0 n n !

Então os termos vão ser

f 1,1 , 1 = 1 3 + 1 3 + 1 3 = 3

∂ f ∂ x 1,1 , 1 x - 1 1 1 ! = 3 x - 1 1 = 3 x - 3

∂ f ∂ y 1,1 , 1 y - 1 1 1 ! = 3 y - 1 1 = 3 y - 3

∂ f ∂ z 1,1 , 1 z - 1 1 1 ! = 3 z - 1 1 = 3 z - 3

Passo 3

O polinômio vai ser

P 1 x , y , z = 3 + 3 x - 3 + 3 y - 3 + 3 z - 3 = 3 x + 3 y + 3 z - 6

Resposta

P 1 x , y , z = 3 x + 3 y + 3 z - 6