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Exercícios Resolvidos de Polinômio de Taylor para f(x,y,z)

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Exercício 123

Enunciado

Determine o polinômio de Taylor de ordem 2 da função dada em torno do ponto x 0 , y 0 , z 0 dado.

f x , y , z = x 1 4 y 1 2 z 1 4           e           x 0 , y 0 , z 0 = 1,1 , 1

Passo 1

Para acharmos o polinômio de Taylor pedido, a primeira coisa é achar as derivadas de ordem 2 da minha função.

∂ f ∂ x = y 1 2 z 1 4 4 x 3 4

∂ f ∂ y = x 1 4 z 1 4 2 y 1 2

∂ f ∂ z = x 1 4 y 1 2 4 z 3 4

∂ 2 f ∂ x 2 = - 3 4 . y 1 2 z 1 4 4 x 7 4 = - 3 y 1 2 z 1 4 16 x 7 4

∂ 2 f ∂ y 2 = - 1 2 . x 1 4 z 1 4 2 y 3 2 = x 1 4 z 1 4 4 y 3 2

∂ 2 f ∂ z 2 = = - 3 4 . y 1 2 x 1 4 4 z 7 4 = - 3 y 1 2 x 1 4 16 z 7 4

∂ 2 f ∂ x ∂ y = 1 4 x 3 4 . z 1 4 2 y 1 2 = z 1 4 8 x 3 4 y 1 2

∂ 2 f ∂ y ∂ x = 1 2 y 1 2 . z 1 4 4 x 3 4 = z 1 4 8 x 3 4 y 1 2

∂ 2 f ∂ x ∂ z = 1 4 x 3 4 . y 1 2 4 z 3 4 = y 1 2 16 x 3 4 z 3 4

∂ 2 f ∂ z ∂ x = y 1 2 16 x 3 4 z 3 4

∂ 2 f ∂ y ∂ z = 1 2 y 1 2 . x 1 4 4 z 3 4 = x 1 4 8 y 1 2 z 3 4

∂ 2 f ∂ z ∂ y = x 1 4 8 y 1 2 z 3 4

Passo 2

Agora temos que achar essas derivadas no ponto

∂ f ∂ x 1,1 , 1 = ( 1 ) 1 2 ( 1 ) 1 4 4 ( 1 ) 3 4 = 1 4

∂ f ∂ y 1,1 , 1 = ( 1 ) 1 4 ( 1 ) 1 4 2 ( 1 ) 1 2 = 1 2

∂ f ∂ z 1,1 , 1 = ( 1 ) 1 4 ( 1 ) 1 2 4 ( 1 ) 3 4 = 1 4

∂ 2 f ∂ x 2 1,1 , 1 = - 3 ( 1 ) 1 2 ( 1 ) 1 4 16 ( 1 ) 7 4 = - 3 16

∂ 2 f ∂ y 2 1,1 , 1 = - 1 1 4 1 1 4 4 1 3 2 = - 1 4

∂ 2 f ∂ z 2 1,1 , 1 = - 3 ( 1 ) 1 2 ( 1 ) 1 4 16 ( 1 ) 7 4 = - 3 16

∂ 2 f ∂ x ∂ y 1,1 , 1 = ( 1 ) 1 4 8 ( 1 ) 3 4 ( 1 ) 1 2 = 1 8

∂ 2 f ∂ y ∂ x 1,1 , 1 = ( 1 ) 1 4 8 ( 1 ) 3 4 ( 1 ) 1 2 = 1 8

∂ 2 f ∂ x ∂ z 1,1 , 1 = ( 1 ) 1 2 16 ( 1 ) 3 4 ( 1 ) 3 4 = 1 16

∂ 2 f ∂ z ∂ x 1,1 , 1 = ( 1 ) 1 2 16 ( 1 ) 3 4 ( 1 ) 3 4 = 1 16

∂ 2 f ∂ y ∂ z 1,1 , 1 = ( 1 ) 1 4 8 ( 1 ) 1 2 ( 1 ) 3 4 = 1 8

∂ 2 f ∂ z ∂ y 1,1 , 1 = ( 1 ) 1 4 8 ( 1 ) 1 2 ( 1 ) 3 4 = 1 8

Passo 3

Agora vamos achar os termos do polinômio, lembrando que

Se tivermos a derivada em relação a x o termo vai ser:

∂ n f ∂ x n x 0 , y 0 , z 0 x - x 0 n n !

Se tivermos a derivada em relação a y o termo vai ser:

∂ n f ∂ y n x 0 , y 0 , z 0 y - y 0 n n !

Se tivermos a derivada em relação a z o termo vai ser:

∂ n f ∂ z n x 0 , y 0 , z 0 z - z 0 n n !

Se tivermos a derivada em relação a y e em relação a x o termo vai ser:

∂ n f ∂ y m ∂ x p x 0 , y 0 , z 0 y - y 0 m x - x 0 p n !

Se tivermos a derivada em relação a y e em relação a z o termo vai ser:

∂ n f ∂ y m ∂ z p x 0 , y 0 , z 0 y - y 0 m z - z 0 p n !

Se tivermos a derivada em relação a x e em relação a z o termo vai ser:

∂ n f ∂ x m ∂ z p x 0 , y 0 , z 0 x - x 0 m z - z 0 p n !

Então os termos vão ser

f 1,1 , 1 = 1 1 4 1 1 2 1 1 4 = 1

∂ f ∂ x 1,1 , 1 x - 1 1 1 ! = 1 4 x - 1 1 = x 4 - 1 4

∂ f ∂ y 1,1 , 1 y - 1 1 1 ! = 1 2 y - 1 1 = y 2 - 1 2

∂ f ∂ z 1,1 , 1 z - 1 1 1 ! = 1 4 z - 1 1 = z 4 - 1 4

∂ 2 f ∂ y 2 1,1 , 1 y - 1 2 2 ! = - 1 4 . y 2 - 2 y + 1 2 = - y 2 - 2 y + 1 8

  ∂ 2 f ∂ x 2 1,1 , 1 x - 1 2 2 ! = - 3 16 . x 2 - 2 x + 1 2 = - 3 x 2 + 6 x - 3 32

∂ 2 f ∂ z 2 1,1 , 1 z - 1 2 2 ! = - 3 16 . z 2 - 2 z + 1 2 = - 3 z 2 + 6 z - 3 32

∂ 2 f ∂ x ∂ y 1,1 , 1 x - 1 y - 1 2 ! = 1 8 . x y - x - y + 1 2 = x y - x - y + 1 16

∂ 2 f ∂ y ∂ x 1,1 , 1 y - 1 x - 1 2 ! = 1 8 . y x - x - y + 1 2 = x y - x - y + 1 16

∂ 2 f ∂ y ∂ z 1,1 , 1 y - 1 z - 1 2 ! = 1 8 . y z - y - z + 1 2 = y z - y - z + 1 16

∂ 2 f ∂ z ∂ y 1,1 , 1 z - 1 y - 1 2 ! = 1 8 . z y - y - z + 1 2 = y z - y - z + 1 16

∂ 2 f ∂ x ∂ z 1,1 , 1 x - 1 z - 1 2 ! = 1 16 . x z - x - z + 1 2 = x z - x - z + 1 32

∂ 2 f ∂ z ∂ x 1,1 , 1 z - 1 x - 1 2 ! = 1 16 . z x - x - z + 1 2 = x z - x - z + 1 32

Passo 4

O polinômio vai ser

P 1 x , y , z = 1 + x 4 - 1 4 + y 2 - 1 2 + z 4 - 1 4 - y 2 8 + y 4 - 1 8 - 3 x 2 32 + 3 x 16 - 3 32 - 3 z 2 32 + 3 z 16 - 3 32 + x y 16 - x 16 - y 16 + 1 16 + x y 16 - x 16 - y 16 + 1 16 + y z 16 - y 16 - z 16 + 1 16 + y z 16 - y 16 - z 16 + 1 16 + x z 32 - x 16 - z 16 + 1 16 + x z 32 - x 16 - z 16 + 1 16

P 1 x , y , z = 1 - 1 4 - 1 2 - 1 4 - 1 8 - 3 32 - 3 32 + 1 16 + 1 16 + 1 16 + 1 16 + 1 16 + 1 16 + x 4 + 3 x 16 - x 16 - x 16 - x 16 - x 16 + y 2 + y 4 - y 16 - y 16 - y 16 - y 16 + z 4 + 3 z 16 - z 16 - z 16 - z 16 - z 16 + x y 16 + x y 16 + y z 16 + y z 16 + x z 32 + x z 32 - y 2 8 - 3 x 2 32 - 3 z 2 32

P 1 x , y , z = 1 16 + 3 x 16 + y 2 + 3 z 16 - y 2 8 - 3 x 2 32 - 3 z 2 32 + x y 8 + y z 8 + x z 16

Resposta

P 1 x , y , z = 1 16 + 3 x 16 + y 2 + 3 z 16 - y 2 8 - 3 x 2 32 - 3 z 2 32 + x y 8 + y z 8 + x z 16