Medidas de Centralidade e Dispersão para Dados Agrupados

(a)

Aqui nós montaremos uma tabelinha de distribuição de frequência assim como fazíamos para os dados, a diferença é que aqui agruparemos os dados para montar!

Então, a primeira coisa que faremos como queremos dados agrupados, é dividir os valores em classes.

O exercício pede pra usarmos a regra da Sturges. Como vimos lá na teoria, a fórmula para essa regra é:

Onde é o número de elementos da nossa amostra e a quantidade de classe que vamos ter! Se a gente tem 42 valores na amostra:

Arredondando isso aí, vamos ter então 6 classes.

(b) Agora precisamos calcular a amplitude da nossa amostra.

Reparem que a nossa tabela já tá em ordem crescente! A diferença aqui é que tá crescendo “pra baixo”, no sentido das colunas, e não das linhas.

Então podemos ver de cara que o maior valor que temos é 104 e o menor é 80.

A amplitude total da amostra é então:

Com isso, cada classe vai ter uma amplitude igual a:

Ou seja vamos ter classes de 4 em 4, começando por 80.

Para construir a distribuição de frequência vamos montar uma tabela com as seguintes colunas:

Vamos ver como fica para a nossa primeira classe, que vai começar em e como , vai terminar em . Nossos valores entre e são:

Lembrem que nunca contamos o valor que “fecha” o intervalo, no nosso caso o .

Vamos calcular as informações dessa primeira classe então. Começando pelo valor médio . Se a classe vai de a , o valor médio é:

Agora a frequência absoluta da classe, ou seja, quantos elementos temos dentro dela. Por exemplo,

Só ir somando as anteriores;

No primeiro caso

Por quê? Porque essa é nossa primeira classe, então não temos nenhuma frequência acumulada para somar a ela, por que não há classes antes dela!

No caso

E vamos seguir esse mesmo processo pro restante! Ficaremos com

Que é dividir pelo total de valores que no caso são 42;

Por exemplo, na primeira classe a frequência relativa vai ficar:

Que é dividir pelo total de valores (42). Para a primeira classe, teriamos

Repetindo esse passo a passo para todas as classes, ficaria algo assim:

(c)

Para dados grupados calculamos a média usando:

(d)

Pra calcular a mediana, temos primeiro que identificar a classe da mediana.

Para isso calculamos o valor de que será .

Agora, olhando para os valores de procuramos em qual classe estará o valor 21. Percebemos que a classe tem . Como queremos 21 não usaremos essa e sim a seguinte.

No nosso caso a classe da mediana será .

Ai usamos a fórmula:

Onde

limite inferior da classe que contém a mediana.

frequência acumulada anterior à classe que contém a mediana.

frequência dessa classe.

amplitude da classe

Assim,

(e)

Para calcular a moda, temos primeiro que achar a classe modal que é a classe com a maior frequência absoluta.

No casso é a classe que tem .

Aí usamos a fórmula:

Onde

limite inferior da classe modal

frequência da classe modal menos a da classe anterior

frequência da classe modal menos a da classe posterior

amplitude da classe

(f)

Para a variância vamos usar a fórmula:

(g)

Desvio padrão:

(h)

Coef. De variação:

(a)

Coeficiente de variação é aquela fórmula, desvio padrão dividido pela média. Tudo isso tá na tabela, só dividir.

(b)

Amplitude máxima é o maior valor menos o menor valor, tranquilo, tudo na tabela de novo.

(c)

Não, assimetria positiva quer dizer que a média é maior que a mediana, isso significa que temos mais valores baixos do que altos.

(d)

Nossa curtose é positiva, o que simboliza uma curva leptocúrtica, aquela com o pico mais alto, lembra? Tem maior curtose que a Normal, comparativamente.

(e)

Nos permite dizer que dos valores da amostra estão abaixo de .

(f)

O valor que mais se repete é a nossa moda, que pode ser vista na tabela.

(g)

Vamos devagar, completar as classes é izi, as classes são todas do mesmo tamanho.

Se a primeira classe vai de , então todas as classes tem amplitude de , só ir completando.

Com isso, completar os também é tranquilão, são os pontos do meio da classe.

Na classe que já ali, , teremos:

Completando esses dois ficamos assim:

Agora podemos pensar que conhecemos alguns e alguns , então podemos tirar os facilmente.

Do mesmo jeito, conhecemos o e o de uma classe e podemos conhecer o só multiplicar.

Ficaria assim:

Agora vamos lá, na coluna do eu vou somando os valores de das classes anteriores, concorda?

Então por exemplo, ali a partir do , posso somar e depois ... descobrindo o das classes e , respectivamente.

Hmmm, se o próximo é , consigo descobrir o da última classe que estava faltando também, cert?

E com esse descubro o , multiplicando:

Fiz muita coisa, vamos ver como ficou...

Falta um da coluna que é de boas, só você lembrar que o somatório dessa coluna tem que ser , que é o total de elementos.

E então calculamos:

O primeiro é igual ao , concorda? Não tem mais nada pra acumular, então o segundo será , que é

Finalmente chegamos à tabela completa:

Nessa questão, vamos avaliar cada um dos itens e ver qual é o verdadeiro e quais são falsos!

A letra A), diz que o último Decil está na penúltima classe. Vamos encontrar então quem é o nosso último Decil.

O Decil nada mais é do que o elemento que divide os nossos dados em grupos de , por isso, o primeiro Decil é o dado que representa o valor na posição de 10%, o segundo Decil o valor na posição de 20%, o quinto Decil, por exemplo, é o valor na posição de 50% que é o mesmo valor que a mediana!Nós temos um total de nove decis, e o último decil é o elemento que representaria a posição de 90%.

Somando todos as frequências, temos um total de:

Opa! Aí tá fácil né, como temos 100 dados, o último decil vai ser exatamente o dado da posição 90.

Fazendo a frequência acumulada por classes, vemos que:

A classe 1 vai do dado 1 até o dado 47.

A classe 2 vai do dado 48 até o dado ().

A classe 3 vai do dado 77 até o dado ().

Opa, o nosso último decil então está na classe 3, que não é a penúltima classe, logo essa está errada.

A letra b), diz que a mediana se encontra na segunda classe.

A mediana acontece na posição de que nesse caso aonde temos 100 dados, será o dado de número .

E essa posição acontece justamente ali na 2ª classe, certo? Já que a frequência acumulada da 2ª classe é , e a primeira classe tem itens, todos os dados entre e vão pertencer a 2ª classe!

Então a resposta é a letra B).

A letra c), diz que a média da distribuição está na terceira classe.

Média aritmética

Para dados agrupados usaremos:

Ou seja,

E podemos ver que a segunda classe tem um intervalo de valores entre e , por isso a média está na segunda classe e não na terceira, por isso está errada.

Na letra D), diz que a distribuição é assimétrica a esquerda.

Isso vai ocorrer quando a moda for maior que a mediana.

(Se a moda for igual a mediana, a distribuição é simétrica e se for menor é assimétrica a direita.)

Vamos encontrar aonde está nossa moda, então!

Temos que a classe com maior frequência é a primeira classe, logo a moda ocorre nessa classe e por isso é menor que a média (que ocorre na segunda classe).

Sendo assim, essa é uma distribuição assimétrica à direita e não à esquerda e essa alternativa D) está errada.

Por fim, a única alternativa correta é a letra B).

Temos um total de dados, então .

Primeiro vamos verificar as posições dos quartis:

Com as posições calculadas, temos que procurar os dados que ocupam a posição na segunda tabela, nos baseando pelas frequências acumuladas.

Para o primeiro quartil, queremos a posição 15. A classe que acumula 15 frequências é a . Para calcular o quartil dentro de uma classe, usamos a fórmula:

Onde:

Então:

Agora para o segundo quartil, que está na posição 30. Essa posição se encontra dentro da classe . Aplicando a fórmula para o cálculo do quartil:

E agora o terceiro quartil, que está na posição 45, dentro da classe :

Calculando nossa DIQ: