Medidas de Centralidade
Teoria
Introdução
Cara, vamos ver agora as medidas de centralidade. Pelo nome você já deve desconfiar do que eu estou falando: média, mediana... você já pode ter ouvido falar delas.
Mas, por que estudar isso?
Vamos supor que você tenha um professor de Probest muuuito carrasco, que só passa provas difíceis e corrige essas provas querendo ferrar todo mundo. Você quer fazer uma reclamação na coordenação, mas que tipo de dados você poderia entregar pra eles?
Concorda comigo que se você tirasse a média das notas da turma, e ela fosse um valor bem ruim, você poderia apresentar isso?
As medidas de centralidade servem pra gente conseguir ter um indicativo do grupo todo de dados! Nesse nosso exemplo, nós queremos ter um único valor representativo para nosso conjunto de notas.
Medidas de Centralidade
Temos 3 típicas medidas super importantes que você precisa saber, vem comigo!
Média aritmética Cara, essa é a medida mais famosa talvez.
Imagina que na nossa turma de ProBest só tenham 5 guerreiros, e as notas deles sejam essas aqui:
Então vamos ter que a média das notas é:
Sempre que tivermos uma quantidade de dados, tipo:
A média vai ser dada por:
Mediana Esse aqui é o valor intermediário dos nossos dados, o cara que está no meio de todos os outros.
Se olharmos para as notas dos nossos guerreiros, concorda comigo então que a mediana seria essa aqui?
Já que ele é o cara que está no meio!
Um ponto muito importante aqui: jamais esqueça de colocar os valores em ordem crescente antes de identificar a mediana! Nesse exemplo que eu te dei, eles já estavam organizadinhos, mas nunca esquece de conferir isso antes, beleza?!
Mas, e se eu te desse uma quantidade par de valores, tipo 6 notas? Como a gente encontra a mediana?
Concorda comigo que não tem exatamente um valor que está no meio?
Nesses casos, nossa mediana vai ser a média dos dois carinhas que estão no meio!
Para um caso genérico com valores, vamos seguir o seguinte passo a passo. Primeiro, vamos identificar se o seu número de dados é par ou ímpar, e depois fazer o seguinte:
Por favor, não esquece de colocar os dados em ordem crescente haha... vou te perturbar mais com isso ainda!
Moda É o valor que mais aparece nos seus dados. Você só vai precisar olhar pra eles, e ver quem é o cara que mais aparece. Sem fórmula, sem conta! Haha
Novamente, olhando pras notas dos alunos:
O carinha que mais aparece é o ! Ele é a moda. :D
Vamos praticar isso tudo aí junto?
Se liga no exemplo abaixo:
Em uma turma de Cálculo da UFRJ temos alunos das seguintes idades:
Para o cálculo da média devemos somar toooodas as idades e dividir pelo número total de alunos.
16 16 16 16 16 17 17 17 17 17 17 17 17 17 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 20 20 20 20 20 20 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 22 22 22 22 23 23 23 23 23 23 24
Tranquilo até aqui?
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Elaboração Própria
As idades de 11 alunos de uma sala são:
Qual a moda, média e a mediana das idades? Qual a classificação da distribuição desses dados (simétrica, assimétrica positiva, assimétrica negativa)?
Passo 1
A moda são os valores que mais aparecem, então no nosso caso temos duas modas: e , já que essas duas idades aparecem três vezes.
A média, fazemos a média aritmética como sempre fizemos:
A mediana é o valor central dos dados em ordem crescente/decrescente... que é o .
Como nossa média é diferente da nossa mediana, temos uma distribuição assimétrica. Mas de qual tipo? Como a média é MAIOR que a mediana... vai ser uma assimétrica positiva!
Resposta
Assimétrica positiva
Exercício Resolvido #2
UERJ – Lista Prof Fabiano
Considerando os dados abaixo:
- Calcule a média;
- Calcule a mediana;
- Calcule a moda;
Passo 1
(a)
Para dados grupados calculamos a média usando:
Passo 2
(b)
Pra calcular a mediana, temos que ver qual é o valor central.
Temos um , ou seja, n é par. Assim o termo central será:
Passo 3
(c)
Para calcular a moda, temos primeiro que encontrar o termo que mais aparece, portanto devemos analisar a tabela:
Resposta
a) 90,38
b) 89,5
c) 87
Exercício Resolvido #3
EACH, USP – Slides Prof. Camilo Rodrigues Neto
Suponha que parafusos a serem utilizados em tomadas elétricas são embaladas em caixas rotuladas como contendo unidades. Em uma construção, caixas de um lote tiveram o número de parafusos contados, fornecendo os valores . Calcule as medidas resumo de posição (média, mediana e moda) para o número de parafusos por caixa.
Passo 1
Começando pela média:
Para a mediana, vamos primeiro ordenar nossos dados em ordem crescente:
Pegando os dois valores centrais e tirando a média (por que nossa amostra tem tamanho com número par!):
O valor que mais aparece é , então:
Resposta
Exercício Resolvido #4
EACH, USP – Slides Prof. Camilo Rodrigues Neto
Foram coletadas observações da variável , representando o número de vestibulares prestados por um aluno até passar. A tabela de frequência para é a seguinte:
Calcule as medidas de posição da variável e da variável despesa com o vestibular definida como , onde é o custo com a inscrição por vestibular e o custo com a preparação para o vestibular, assumido ser realizado uma única vez.
Passo 1
Medidas de posição são as médias, medianas e modas dos dados.
Começando por , a média vai ser dada pela média aritmética. No nosso caso temos dados numa tabela de freqüência, então nossa média aritmética é calculada por:
A mediana vai ser o valor central, mas não vamos precisar escrever todos os valores em ordem para ver quem tá no meio, repara comigo... temos dados, então os centrais vão estar nas posições e , certo? Se ficar com dúvida, testa pra um número pequeno, tipo :
Os valores centrais são e , concorda?
Beleza, então sabendo quem são as posições dos valores centrais, vamos na tabela de frequência descobrir o valor desses caras. Repara que aparece vezes, então a posição é . E a posição vai ser a imediatamente após a , certo? Que é quando . Então nossa mediana vai ser a média entre esses dois valores:
E para a moda... é só ver qual tem maior frequência, que é o . Então:
Passo 2
Para calcular os valores de , basta substituirmos os que existem na equação:
Então:
Para calcular a média, vamos usar a mesma fórmula que usamos com a frequência relativa (que é a mesma frequência do que usamos na equação de cada ):
A agora a posição é ocupada por e a posição por , então a mediana é:
E a moda é o valor com mais frequência, o relacionado ao , que é o de maior freqüência, ou seja, :
Resposta
Exercício Resolvido #5
EACH, USP – Slides Prof. Camilo Rodrigues Neto
As notas finais de uma prova do curso foram:
Separe os dados em dois grupos, os aprovados e os reprovados.
a) Organize os dados, calcule a média, a mediana e a moda dos dois grupos.
Passo 1
Reprovados em ordem crescente:
Aprovados em ordem crescente:
Média dos reprovados:
Mediana é o valor central, que é .
Moda é o valor que mais aparece, que é também. Então:
Passo 2
Agora os aprovados, começando pela média:
Mediana é o valor central que é:
E a moda é o valor que mais aparece, ou seja: