Enunciado
Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 11.Exercícios - Ex. 96
11-96. Minimos Quadrados Ponderados. Suponha que estejamos
ajustando a linha a variância porém. de Y depen-
de do nível de x; ou seja.
sendo as constantes w,. freqüentemente chamadas de pesos. Mostre
que para uma função objetivo em que cada resíduo ao quadrado é
multiplicado pela recíproca da variância da observação correspon-
dente, as equações normais resultantes dos mínimos quadrados pon-
derados são
Encontre a solucão para essas equações normais. As soluções são
ponderadas por estimadores mínimos quadrados de
Passo 1
Faaaaaaala aí gente,
Vamos fazer uma daquelas questões passo a passo?
Vem comigo!!
Suponha que um modelo de regressão linear simples é dado, onde os erros não estão correlacionados com média zero e variância dependendo do nível de x como
onde são os pesos, valores constantes.
Para mostrar o necessário, deve-se começar multiplicando a soma dos erros quadrados pelo recíproco da variância da observação correspondente. Em seguida, encontre as derivadas em relação aos parâmetros desconhecidos e obtenha as equações normais de mínimos quadrados ponderados. O seguinte é verdade
Agora, as derivadas parciais podem ser tomadas em relação a
Passo 2
Resolvendo o sistema de equações
Simplificando essas equações, as equações normais de mínimos quadrados ponderados são
Resolvendo este sistema de equações, o estimador de pode ser obtido. Ao dividir a primeira equação por o estimador de é
onde são as médias ponderadas de y e x.
Passo 3
Para encontrar o estimador do parâmetro desconhecido substitua na segunda equação. Então, o seguinte é verdadeiro
ou igualmente, resolvendo para
Pois
Portanto, os estimadores são: