Enunciado
Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 11.Exercícios - Ex. 98
11-98. Suponha que estejamos interessados em ajustar um modelo
de regressão linear simples em que a interseção, n,seja conhecida.
a) Encontre o estimador de mínimos quadrados para
b) Qual é a variância do estimador da inclinação no item (a)?
c)Encontre uma expressão para um intervalo de confiança de
100 (1 - a) para a inclinação . Esse intervalo é maior do que
o intervalo correspondente para o caso em que tanto a interseção
como a inclinação sejam desconhecidas? Justifique sua resposta.
Passo 1
Faaaaaaala aí gente,
Vamos fazer uma daquelas questões passo a passo?
Vem comigo!!
Suponha que um modelo de regressão linear simples é dado, onde os erros não são correlacionados com média e variância zero , mas em vez de serem desconhecidos, assuma que seja desconhecido.
Letra a:
O estimador de mínimos quadrados do parâmetro desconhecido agora pode ser obtido resolvendo uma equação em vez de um sistema de equações lineares. Ele vem da soma dos erros quadrados
A derivada em relação a é
Definindo-o para zero, o estimador de pode ser obtido. Então
ou igualmente, o estimador de é dado por
Observe que é conhecido aqui.
Passo 2
Letra b:
Uma variância de deve ser determinada. Para fazer isso, a suposição de independência de , deve ser usada e o fato de que devido à suposição de variância constante do erro. Temos:
Passo 3
Letra c:
Para esta parte do exercício, um intervalo de confiança de para a inclinação, deve ser obtido. Considerando a suposição de normalidade, uma variável aleatória que pode ser usada para obter o intervalo de confiança é
tem uma distribuição t-Student com graus de liberdade. Portanto, de
O intervalo de confiança é
facilmente obtidos a partir da probabilidade dada.
Aqui, s é uma estimativa de .
Para comparar os intervalos de confiança, observe primeiro que
Além disso, a variância do estimador quando é desconhecido é maior do que quando é conhecido. Desses dois, quando não é um valor desconhecido, o intervalo de confiança é mais estreito do que é fornecido.
Resposta
- , Menor quando é conhecido.